---

Step * 1 of Lemma integral-by-parts

.....assertion..... 
1. I : Interval
2. u : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
3. v : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
4. ∀h:I ⟶ℝ. ∀u',v':{h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} .
     (d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
     ⇒ d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
     ⇒ d(h[t])/dt = λt.u'[t] * v[t] on I
     ⇒ d((u[t] * v[t]) - h[t])/dt = λt.u[t] * v'[t] on I)
5. u' : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
6. v' : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
7. d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
8. d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
9. iproper(I)
10. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
11. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
⊢ ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (λt.(u'[t] * v[t]) ∈ {f:[rmin(a;x), rmax(a;x)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(a;x), rmax(a;x)])} )
BY
{ ((D 0 THENA Auto) THEN (InstLemma `rmin-rmax-subinterval` [⌜I⌝;⌜a⌝;⌜x⌝]⋅ THENA Auto) THEN MemTypeCD) }

1
1. I : Interval
2. u : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
3. v : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
4. ∀h:I ⟶ℝ. ∀u',v':{h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} .
     (d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
     ⇒ d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
     ⇒ d(h[t])/dt = λt.u'[t] * v[t] on I
     ⇒ d((u[t] * v[t]) - h[t])/dt = λt.u[t] * v'[t] on I)
5. u' : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
6. v' : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
7. d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
8. d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
9. iproper(I)
10. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
11. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
12. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
13. [rmin(a;x), rmax(a;x)] ⊆ I 
⊢ λt.(u'[t] * v[t]) ∈ [rmin(a;x), rmax(a;x)] ⟶ℝ

2
.....set predicate..... 
1. I : Interval
2. u : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
3. v : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
4. ∀h:I ⟶ℝ. ∀u',v':{h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} .
     (d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
     ⇒ d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
     ⇒ d(h[t])/dt = λt.u'[t] * v[t] on I
     ⇒ d((u[t] * v[t]) - h[t])/dt = λt.u[t] * v'[t] on I)
5. u' : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
6. v' : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
7. d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
8. d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
9. iproper(I)
10. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
11. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
12. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
13. [rmin(a;x), rmax(a;x)] ⊆ I 
⊢ ifun(λt.(u'[t] * v[t]);[rmin(a;x), rmax(a;x)])

3
.....wf..... 
1. I : Interval
2. u : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
3. v : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
4. ∀h:I ⟶ℝ. ∀u',v':{h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} .
     (d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
     ⇒ d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
     ⇒ d(h[t])/dt = λt.u'[t] * v[t] on I
     ⇒ d((u[t] * v[t]) - h[t])/dt = λt.u[t] * v'[t] on I)
5. u' : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
6. v' : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
7. d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
8. d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
9. iproper(I)
10. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
11. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
12. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
13. [rmin(a;x), rmax(a;x)] ⊆ I 
14. f : [rmin(a;x), rmax(a;x)] ⟶ℝ
⊢ ifun(f;[rmin(a;x), rmax(a;x)]) ∈ Type

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  I  :  Interval
2.  u  :  \{h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))\} 
3.  v  :  \{h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))\} 
4.  \mforall{}h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}u',v':\{h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))\}  .
          (d(u[t])/dt  =  \mlambda{}t.u'[t]  on  I
          {}\mRightarrow{}  d(v[t])/dt  =  \mlambda{}t.v'[t]  on  I
          {}\mRightarrow{}  d(h[t])/dt  =  \mlambda{}t.u'[t]  *  v[t]  on  I
          {}\mRightarrow{}  d((u[t]  *  v[t])  -  h[t])/dt  =  \mlambda{}t.u[t]  *  v'[t]  on  I)
5.  u'  :  \{h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))\} 
6.  v'  :  \{h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))\} 
7.  d(u[t])/dt  =  \mlambda{}t.u'[t]  on  I
8.  d(v[t])/dt  =  \mlambda{}t.v'[t]  on  I
9.  iproper(I)
10.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
11.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
\mvdash{}  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
        (\mlambda{}t.(u'[t]  *  v[t])  \mmember{}  \{f:[rmin(a;x),  rmax(a;x)]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[rmin(a;x),  rmax(a;x)])\}  )


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)  THEN  (InstLemma  `rmin-rmax-subinterval`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  MemTypeCD)

---

Home Index