---

Step * 1 2 of Lemma integral-by-parts

.....set predicate..... 
1. I : Interval
2. u : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
3. v : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
4. ∀h:I ⟶ℝ. ∀u',v':{h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} .
     (d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
     ⇒ d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
     ⇒ d(h[t])/dt = λt.u'[t] * v[t] on I
     ⇒ d((u[t] * v[t]) - h[t])/dt = λt.u[t] * v'[t] on I)
5. u' : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
6. v' : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
7. d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
8. d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
9. iproper(I)
10. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
11. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
12. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
13. [rmin(a;x), rmax(a;x)] ⊆ I 
⊢ ifun(λt.(u'[t] * v[t]);[rmin(a;x), rmax(a;x)])
BY
{ (D 0 THEN All Reduce THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. u : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
3. v : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
4. ∀h:I ⟶ℝ. ∀u',v':{h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} .
     (d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
     ⇒ d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
     ⇒ d(h[t])/dt = λt.u'[t] * v[t] on I
     ⇒ d((u[t] * v[t]) - h[t])/dt = λt.u[t] * v'[t] on I)
5. u' : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
6. v' : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
7. d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
8. d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
9. iproper(I)
10. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
11. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
12. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
13. [rmin(a;x), rmax(a;x)] ⊆ I 
14. x@0 : {x@0:ℝ| (rmin(a;x) ≤ x@0) ∧ (x@0 ≤ rmax(a;x))} 
15. y : {x@0:ℝ| (rmin(a;x) ≤ x@0) ∧ (x@0 ≤ rmax(a;x))} 
16. x@0 = y
⊢ (u'[x@0] * v[x@0]) = (u'[y] * v[y])

---

Latex:

---

Latex:
.....set  predicate..... 
1.  I  :  Interval
2.  u  :  \{h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))\} 
3.  v  :  \{h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))\} 
4.  \mforall{}h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}u',v':\{h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))\}  .
          (d(u[t])/dt  =  \mlambda{}t.u'[t]  on  I
          {}\mRightarrow{}  d(v[t])/dt  =  \mlambda{}t.v'[t]  on  I
          {}\mRightarrow{}  d(h[t])/dt  =  \mlambda{}t.u'[t]  *  v[t]  on  I
          {}\mRightarrow{}  d((u[t]  *  v[t])  -  h[t])/dt  =  \mlambda{}t.u[t]  *  v'[t]  on  I)
5.  u'  :  \{h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))\} 
6.  v'  :  \{h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))\} 
7.  d(u[t])/dt  =  \mlambda{}t.u'[t]  on  I
8.  d(v[t])/dt  =  \mlambda{}t.v'[t]  on  I
9.  iproper(I)
10.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
11.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
12.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
13.  [rmin(a;x),  rmax(a;x)]  \msubseteq{}  I 
\mvdash{}  ifun(\mlambda{}t.(u'[t]  *  v[t]);[rmin(a;x),  rmax(a;x)])


By

---

Latex:
(D  0  THEN  All  Reduce  THEN  Auto)

---

Home Index