---

Step * 2 2 1 1 of Lemma integral-by-parts


1. I : Interval
2. u : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
3. v : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
4. ∀h:I ⟶ℝ. ∀u',v':{h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} .
     (d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
     ⇒ d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
     ⇒ d(h[t])/dt = λt.u'[t] * v[t] on I
     ⇒ d((u[t] * v[t]) - h[t])/dt = λt.u[t] * v'[t] on I)
5. u' : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
6. v' : {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 
7. d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
8. d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
9. iproper(I)
10. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
11. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
12. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (λt.(u'[t] * v[t]) ∈ {f:[rmin(a;x), rmax(a;x)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(a;x), rmax(a;x)])} )
13. x : {a:ℝ| a ∈ I} 
14. y : {a:ℝ| a ∈ I} 
15. x = y
⊢ (u'[x] * v[x]) = (u'[y] * v[y])
BY
{ ((DSetVars THEN Unhide THEN Auto) THEN Unfold `so_apply` 0 THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. u : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((u x) = (u y)))
4. v : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((v x) = (v y)))
6. ∀h:I ⟶ℝ. ∀u',v':{h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} .
     (d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
     ⇒ d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
     ⇒ d(h[t])/dt = λt.u'[t] * v[t] on I
     ⇒ d((u[t] * v[t]) - h[t])/dt = λt.u[t] * v'[t] on I)
7. u' : I ⟶ℝ
8. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((u' x) = (u' y)))
9. v' : I ⟶ℝ
10. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((v' x) = (v' y)))
11. d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
12. d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
13. iproper(I)
14. a : ℝ
15. a ∈ I
16. b : ℝ
17. b ∈ I
18. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (λt.(u'[t] * v[t]) ∈ {f:[rmin(a;x), rmax(a;x)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(a;x), rmax(a;x)])} )
19. x : ℝ
20. x ∈ I
21. y : ℝ
22. y ∈ I
23. x = y
⊢ ((u' x) * (v x)) = ((u' y) * (v y))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  u  :  \{h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))\} 
3.  v  :  \{h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))\} 
4.  \mforall{}h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}u',v':\{h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))\}  .
          (d(u[t])/dt  =  \mlambda{}t.u'[t]  on  I
          {}\mRightarrow{}  d(v[t])/dt  =  \mlambda{}t.v'[t]  on  I
          {}\mRightarrow{}  d(h[t])/dt  =  \mlambda{}t.u'[t]  *  v[t]  on  I
          {}\mRightarrow{}  d((u[t]  *  v[t])  -  h[t])/dt  =  \mlambda{}t.u[t]  *  v'[t]  on  I)
5.  u'  :  \{h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))\} 
6.  v'  :  \{h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))\} 
7.  d(u[t])/dt  =  \mlambda{}t.u'[t]  on  I
8.  d(v[t])/dt  =  \mlambda{}t.v'[t]  on  I
9.  iproper(I)
10.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
11.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
12.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
            (\mlambda{}t.(u'[t]  *  v[t])  \mmember{}  \{f:[rmin(a;x),  rmax(a;x)]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[rmin(a;x),  rmax(a;x)])\}  )
13.  x  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
14.  y  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
15.  x  =  y
\mvdash{}  (u'[x]  *  v[x])  =  (u'[y]  *  v[y])


By

---

Latex:
((DSetVars  THEN  Unhide  THEN  Auto)  THEN  Unfold  `so\_apply`  0  THEN  Auto)

---

Home Index