---

Step * 2 2 1 1 1 of Lemma integral-by-parts


1. I : Interval
2. u : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((u x) = (u y)))
4. v : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((v x) = (v y)))
6. ∀h:I ⟶ℝ. ∀u',v':{h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} .
     (d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
     ⇒ d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
     ⇒ d(h[t])/dt = λt.u'[t] * v[t] on I
     ⇒ d((u[t] * v[t]) - h[t])/dt = λt.u[t] * v'[t] on I)
7. u' : I ⟶ℝ
8. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((u' x) = (u' y)))
9. v' : I ⟶ℝ
10. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((v' x) = (v' y)))
11. d(u[t])/dt = λt.u'[t] on I
12. d(v[t])/dt = λt.v'[t] on I
13. iproper(I)
14. a : ℝ
15. a ∈ I
16. b : ℝ
17. b ∈ I
18. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (λt.(u'[t] * v[t]) ∈ {f:[rmin(a;x), rmax(a;x)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(a;x), rmax(a;x)])} )
19. x : ℝ
20. x ∈ I
21. y : ℝ
22. y ∈ I
23. x = y
⊢ ((u' x) * (v x)) = ((u' y) * (v y))
BY
{ (BLemma `rmul_functionality` THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  u  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((u  x)  =  (u  y)))
4.  v  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((v  x)  =  (v  y)))
6.  \mforall{}h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}u',v':\{h:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))\}  .
          (d(u[t])/dt  =  \mlambda{}t.u'[t]  on  I
          {}\mRightarrow{}  d(v[t])/dt  =  \mlambda{}t.v'[t]  on  I
          {}\mRightarrow{}  d(h[t])/dt  =  \mlambda{}t.u'[t]  *  v[t]  on  I
          {}\mRightarrow{}  d((u[t]  *  v[t])  -  h[t])/dt  =  \mlambda{}t.u[t]  *  v'[t]  on  I)
7.  u'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
8.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((u'  x)  =  (u'  y)))
9.  v'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
10.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((v'  x)  =  (v'  y)))
11.  d(u[t])/dt  =  \mlambda{}t.u'[t]  on  I
12.  d(v[t])/dt  =  \mlambda{}t.v'[t]  on  I
13.  iproper(I)
14.  a  :  \mBbbR{}
15.  a  \mmember{}  I
16.  b  :  \mBbbR{}
17.  b  \mmember{}  I
18.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
            (\mlambda{}t.(u'[t]  *  v[t])  \mmember{}  \{f:[rmin(a;x),  rmax(a;x)]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[rmin(a;x),  rmax(a;x)])\}  )
19.  x  :  \mBbbR{}
20.  x  \mmember{}  I
21.  y  :  \mBbbR{}
22.  y  \mmember{}  I
23.  x  =  y
\mvdash{}  ((u'  x)  *  (v  x))  =  ((u'  y)  *  (v  y))


By

---

Latex:
(BLemma  `rmul\_functionality`  THEN  Auto)

---

Home Index