---

Step * 2 of Lemma integral-rsum


1. ∀d:ℕ
     ∀[n:ℤ]. ∀[a,b:ℝ]. ∀[f:{f:{n..(n + d) + 1-} ⟶ [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| 
                            ∀i:{n..(n + d) + 1-}. ifun(λx.f[i;x];[rmin(a;b), rmax(a;b)])} ].
       (a_∫-b Σ{f[i;x] | n≤i≤n + d} dx = Σ{a_∫-b f[i;x] dx | n≤i≤n + d})
⊢ ∀[n,m:ℤ]. ∀[a,b:ℝ]. ∀[f:{f:{n..m + 1-} ⟶ [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| 
                           ∀i:{n..m + 1-}. ifun(λx.f[i;x];[rmin(a;b), rmax(a;b)])} ].
    (a_∫-b Σ{f[i;x] | n≤i≤m} dx = Σ{a_∫-b f[i;x] dx | n≤i≤m})
BY
{ (Intros
   THEN (Assert ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]} .  ((x = y) ⇒ (Σ{f i x | n≤i≤m} = Σ{f i y | n≤i≤m})) BY
               (Auto THEN BLemma `rsum_functionality` THEN Auto THEN D 0 THEN Auto THEN DVar `f' THEN Unhide THEN Auto))
   THEN Unhide
   THEN Auto) }

1
1. ∀d:ℕ
     ∀[n:ℤ]. ∀[a,b:ℝ]. ∀[f:{f:{n..(n + d) + 1-} ⟶ [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| 
                            ∀i:{n..(n + d) + 1-}. ifun(λx.f[i;x];[rmin(a;b), rmax(a;b)])} ].
       (a_∫-b Σ{f[i;x] | n≤i≤n + d} dx = Σ{a_∫-b f[i;x] dx | n≤i≤n + d})
2. n : ℤ
3. m : ℤ
4. a : ℝ
5. b : ℝ
6. f : {f:{n..m + 1-} ⟶ [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| ∀i:{n..m + 1-}. ifun(λx.f[i;x];[rmin(a;b), rmax(a;b)])} 
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]} .  ((x = y) ⇒ (Σ{f i x | n≤i≤m} = Σ{f i y | n≤i≤m}))
⊢ a_∫-b Σ{f[i;x] | n≤i≤m} dx = Σ{a_∫-b f[i;x] dx | n≤i≤m}

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}d:\mBbbN{}
          \mforall{}[n:\mBbbZ{}].  \mforall{}[a,b:\mBbbR{}].  \mforall{}[f:\{f:\{n..(n  +  d)  +  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}| 
                                                        \mforall{}i:\{n..(n  +  d)  +  1\msupminus{}\}.  ifun(\mlambda{}x.f[i;x];[rmin(a;b),  rmax(a;b)])\}  ].
              (a\_\mint{}\msupminus{}b  \mSigma{}\{f[i;x]  |  n\mleq{}i\mleq{}n  +  d\}  dx  =  \mSigma{}\{a\_\mint{}\msupminus{}b  f[i;x]  dx  |  n\mleq{}i\mleq{}n  +  d\})
\mvdash{}  \mforall{}[n,m:\mBbbZ{}].  \mforall{}[a,b:\mBbbR{}].  \mforall{}[f:\{f:\{n..m  +  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}| 
                                                      \mforall{}i:\{n..m  +  1\msupminus{}\}.  ifun(\mlambda{}x.f[i;x];[rmin(a;b),  rmax(a;b)])\}  ].
        (a\_\mint{}\msupminus{}b  \mSigma{}\{f[i;x]  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}  dx  =  \mSigma{}\{a\_\mint{}\msupminus{}b  f[i;x]  dx  |  n\mleq{}i\mleq{}m\})


By

---

Latex:
(Intros
  THEN  (Assert  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]\}  .
                                ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (\mSigma{}\{f  i  x  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}  =  \mSigma{}\{f  i  y  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}))  BY
                          (Auto
                            THEN  BLemma  `rsum\_functionality`
                            THEN  Auto
                            THEN  D  0
                            THEN  Auto
                            THEN  DVar  `f'
                            THEN  Unhide
                            THEN  Auto))
  THEN  Unhide
  THEN  Auto)

---

Home Index