---

Step * 2 1 of Lemma integral-rsum


1. ∀d:ℕ
     ∀[n:ℤ]. ∀[a,b:ℝ]. ∀[f:{f:{n..(n + d) + 1-} ⟶ [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| 
                            ∀i:{n..(n + d) + 1-}. ifun(λx.f[i;x];[rmin(a;b), rmax(a;b)])} ].
       (a_∫-b Σ{f[i;x] | n≤i≤n + d} dx = Σ{a_∫-b f[i;x] dx | n≤i≤n + d})
2. n : ℤ
3. m : ℤ
4. a : ℝ
5. b : ℝ
6. f : {f:{n..m + 1-} ⟶ [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| ∀i:{n..m + 1-}. ifun(λx.f[i;x];[rmin(a;b), rmax(a;b)])} 
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]} .  ((x = y) ⇒ (Σ{f i x | n≤i≤m} = Σ{f i y | n≤i≤m}))
⊢ a_∫-b Σ{f[i;x] | n≤i≤m} dx = Σ{a_∫-b f[i;x] dx | n≤i≤m}
BY
{ (Decide ⌜n ≤ m⌝⋅ THENA Auto) }

1
1. ∀d:ℕ
     ∀[n:ℤ]. ∀[a,b:ℝ]. ∀[f:{f:{n..(n + d) + 1-} ⟶ [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| 
                            ∀i:{n..(n + d) + 1-}. ifun(λx.f[i;x];[rmin(a;b), rmax(a;b)])} ].
       (a_∫-b Σ{f[i;x] | n≤i≤n + d} dx = Σ{a_∫-b f[i;x] dx | n≤i≤n + d})
2. n : ℤ
3. m : ℤ
4. a : ℝ
5. b : ℝ
6. f : {f:{n..m + 1-} ⟶ [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| ∀i:{n..m + 1-}. ifun(λx.f[i;x];[rmin(a;b), rmax(a;b)])} 
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]} .  ((x = y) ⇒ (Σ{f i x | n≤i≤m} = Σ{f i y | n≤i≤m}))
8. n ≤ m
⊢ a_∫-b Σ{f[i;x] | n≤i≤m} dx = Σ{a_∫-b f[i;x] dx | n≤i≤m}

2
1. ∀d:ℕ
     ∀[n:ℤ]. ∀[a,b:ℝ]. ∀[f:{f:{n..(n + d) + 1-} ⟶ [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| 
                            ∀i:{n..(n + d) + 1-}. ifun(λx.f[i;x];[rmin(a;b), rmax(a;b)])} ].
       (a_∫-b Σ{f[i;x] | n≤i≤n + d} dx = Σ{a_∫-b f[i;x] dx | n≤i≤n + d})
2. n : ℤ
3. m : ℤ
4. a : ℝ
5. b : ℝ
6. f : {f:{n..m + 1-} ⟶ [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| ∀i:{n..m + 1-}. ifun(λx.f[i;x];[rmin(a;b), rmax(a;b)])} 
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]} .  ((x = y) ⇒ (Σ{f i x | n≤i≤m} = Σ{f i y | n≤i≤m}))
8. ¬(n ≤ m)
⊢ a_∫-b Σ{f[i;x] | n≤i≤m} dx = Σ{a_∫-b f[i;x] dx | n≤i≤m}

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}d:\mBbbN{}
          \mforall{}[n:\mBbbZ{}].  \mforall{}[a,b:\mBbbR{}].  \mforall{}[f:\{f:\{n..(n  +  d)  +  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}| 
                                                        \mforall{}i:\{n..(n  +  d)  +  1\msupminus{}\}.  ifun(\mlambda{}x.f[i;x];[rmin(a;b),  rmax(a;b)])\}  ].
              (a\_\mint{}\msupminus{}b  \mSigma{}\{f[i;x]  |  n\mleq{}i\mleq{}n  +  d\}  dx  =  \mSigma{}\{a\_\mint{}\msupminus{}b  f[i;x]  dx  |  n\mleq{}i\mleq{}n  +  d\})
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  m  :  \mBbbZ{}
4.  a  :  \mBbbR{}
5.  b  :  \mBbbR{}
6.  f  :  \{f:\{n..m  +  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}| 
                \mforall{}i:\{n..m  +  1\msupminus{}\}.  ifun(\mlambda{}x.f[i;x];[rmin(a;b),  rmax(a;b)])\} 
7.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (\mSigma{}\{f  i  x  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}  =  \mSigma{}\{f  i  y  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}))
\mvdash{}  a\_\mint{}\msupminus{}b  \mSigma{}\{f[i;x]  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}  dx  =  \mSigma{}\{a\_\mint{}\msupminus{}b  f[i;x]  dx  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}


By

---

Latex:
(Decide  \mkleeneopen{}n  \mleq{}  m\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index