---

Step * 1 2 of Lemma log-contraction-Taylor


1. a : ℝ
2. x : ℝ
3. r0 < a
4. |x - rlog(a)| ≤ r1
5. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
6. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
7. e : {e:ℝ| r0 < e} 
⊢ finite-deriv-seq((-∞, ∞);3;i,x.if (i =z 0) then log-contraction(a;x)
if (i =z 1) then (a - e^x/a + e^x)^2
if (i =z 2) then (((r(-4) * a) * e^x) * (a - e^x)/a + e^x^3)
else (((r(16) * a^2) * e^x^2) + ((r(-4) * a^3) * e^x) + ((r(-4) * a) * e^x^3)/a + e^x^4)
fi )
BY
{ ((D 0 THENA Auto) THEN IntSegCases (-1) THEN Reduce 0 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  r0  <  a
4.  |x  -  rlog(a)|  \mleq{}  r1
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))
6.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.    (r0  <  a  +  e\^{}x\^{}n)
7.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
\mvdash{}  finite-deriv-seq((-\minfty{},  \minfty{});3;i,x.if  (i  =\msubz{}  0)  then  log-contraction(a;x)
if  (i  =\msubz{}  1)  then  (a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x)\^{}2
if  (i  =\msubz{}  2)  then  (((r(-4)  *  a)  *  e\^{}x)  *  (a  -  e\^{}x)/a  +  e\^{}x\^{}3)
else  (((r(16)  *  a\^{}2)  *  e\^{}x\^{}2)  +  ((r(-4)  *  a\^{}3)  *  e\^{}x)  +  ((r(-4)  *  a)  *  e\^{}x\^{}3)/a  +  e\^{}x\^{}4)
fi  )


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)  THEN  IntSegCases  (-1)  THEN  Reduce  0  THEN  Auto)

---

Home Index