---

Step * 1 of Lemma log-contraction-Taylor


1. a : ℝ
2. x : ℝ
3. r0 < a
4. |x - rlog(a)| ≤ r1
5. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
6. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
⊢ |log-contraction(a;x) - rlog(a)| ≤ ((r1/r(4)) * |x - rlog(a)|^3)
BY
{ (BLemma  `rleq-iff-all-rless`
   THEN Auto
   THEN (InstLemma `Taylor-theorem`
          [⌜(-∞, ∞)⌝;⌜2⌝;⌜λ2i x.if (i =z 0) then log-contraction(a;x)
                          if (i =z 1) then (a - e^x/a + e^x)^2
                          if (i =z 2) then (((r(-4) * a) * e^x) * (a - e^x)/a + e^x^3)
                          else (((r(16) * a^2) * e^x^2) + ((r(-4) * a^3) * e^x) + ((r(-4) * a) * e^x^3)/a + e^x^4)
                          fi ⌝;⌜rlog(a)⌝;⌜x⌝;⌜e⌝]⋅
         THENA (Reduce 0 THEN Auto)
         )
   THEN ExRepD) }

1
1. a : ℝ
2. x : ℝ
3. r0 < a
4. |x - rlog(a)| ≤ r1
5. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
6. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
7. e : {e:ℝ| r0 < e} 
8. k : ℕ4
9. x1 : {a:ℝ| True} 
10. y : {a:ℝ| True} 
11. x1 = y
⊢ if (k =z 0) then log-contraction(a;x1)
if (k =z 1) then (a - e^x1/a + e^x1)^2
if (k =z 2) then (((r(-4) * a) * e^x1) * (a - e^x1)/a + e^x1^3)
else (((r(16) * a^2) * e^x1^2) + ((r(-4) * a^3) * e^x1) + ((r(-4) * a) * e^x1^3)/a + e^x1^4)
fi 
= if (k =z 0) then log-contraction(a;y)
  if (k =z 1) then (a - e^y/a + e^y)^2
  if (k =z 2) then (((r(-4) * a) * e^y) * (a - e^y)/a + e^y^3)
  else (((r(16) * a^2) * e^y^2) + ((r(-4) * a^3) * e^y) + ((r(-4) * a) * e^y^3)/a + e^y^4)
  fi 

2
1. a : ℝ
2. x : ℝ
3. r0 < a
4. |x - rlog(a)| ≤ r1
5. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
6. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
7. e : {e:ℝ| r0 < e} 
⊢ finite-deriv-seq((-∞, ∞);3;i,x.if (i =z 0) then log-contraction(a;x)
if (i =z 1) then (a - e^x/a + e^x)^2
if (i =z 2) then (((r(-4) * a) * e^x) * (a - e^x)/a + e^x^3)
else (((r(16) * a^2) * e^x^2) + ((r(-4) * a^3) * e^x) + ((r(-4) * a) * e^x^3)/a + e^x^4)
fi )

3
1. a : ℝ
2. x : ℝ
3. r0 < a
4. |x - rlog(a)| ≤ r1
5. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
6. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
7. e : {e:ℝ| r0 < e} 
8. c : ℝ
9. rmin(rlog(a);x) ≤ c
10. c ≤ rmax(rlog(a);x)
11. |Taylor-remainder((-∞, ∞);2;x;rlog(a);k,x.if (k =z 0) then log-contraction(a;x)
if (k =z 1) then (a - e^x/a + e^x)^2
if (k =z 2) then (((r(-4) * a) * e^x) * (a - e^x)/a + e^x^3)
else (((r(16) * a^2) * e^x^2) + ((r(-4) * a^3) * e^x) + ((r(-4) * a) * e^x^3)/a + e^x^4)
fi ) - (x - c^2
* (if (2 + 1 =z 0) then log-contraction(a;c)
  if (2 + 1 =z 1) then (a - e^c/a + e^c)^2
  if (2 + 1 =z 2) then (((r(-4) * a) * e^c) * (a - e^c)/a + e^c^3)
  else (((r(16) * a^2) * e^c^2) + ((r(-4) * a^3) * e^c) + ((r(-4) * a) * e^c^3)/a + e^c^4)
  fi /r((2)!)))
* (x - rlog(a))| ≤ e
⊢ |log-contraction(a;x) - rlog(a)| ≤ (((r1/r(4)) * |x - rlog(a)|^3) + e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  r0  <  a
4.  |x  -  rlog(a)|  \mleq{}  r1
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))
6.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.    (r0  <  a  +  e\^{}x\^{}n)
\mvdash{}  |log-contraction(a;x)  -  rlog(a)|  \mleq{}  ((r1/r(4))  *  |x  -  rlog(a)|\^{}3)


By

---

Latex:
(BLemma    `rleq-iff-all-rless`
  THEN  Auto
  THEN  (InstLemma  `Taylor-theorem`
                [\mkleeneopen{}(-\minfty{},  \minfty{})\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}i  x.if  (i  =\msubz{}  0)  then  log-contraction(a;x)
                                                if  (i  =\msubz{}  1)  then  (a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x)\^{}2
                                                if  (i  =\msubz{}  2)  then  (((r(-4)  *  a)  *  e\^{}x)  *  (a  -  e\^{}x)/a  +  e\^{}x\^{}3)
                                                else  (((r(16)  *  a\^{}2)  *  e\^{}x\^{}2)
                                                          +  ((r(-4)  *  a\^{}3)  *  e\^{}x)
                                                          +  ((r(-4)  *  a)  *  e\^{}x\^{}3)/a  +  e\^{}x\^{}4)
                                                fi  \mkleeneclose{};\mkleeneopen{}rlog(a)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  (Reduce  0  THEN  Auto)
              )
  THEN  ExRepD)

---

Home Index