---

Step * 1 3 of Lemma log-contraction-Taylor


1. a : ℝ
2. x : ℝ
3. r0 < a
4. |x - rlog(a)| ≤ r1
5. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
6. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
7. e : {e:ℝ| r0 < e} 
8. c : ℝ
9. rmin(rlog(a);x) ≤ c
10. c ≤ rmax(rlog(a);x)
11. |Taylor-remainder((-∞, ∞);2;x;rlog(a);k,x.if (k =z 0) then log-contraction(a;x)
if (k =z 1) then (a - e^x/a + e^x)^2
if (k =z 2) then (((r(-4) * a) * e^x) * (a - e^x)/a + e^x^3)
else (((r(16) * a^2) * e^x^2) + ((r(-4) * a^3) * e^x) + ((r(-4) * a) * e^x^3)/a + e^x^4)
fi ) - (x - c^2
* (if (2 + 1 =z 0) then log-contraction(a;c)
  if (2 + 1 =z 1) then (a - e^c/a + e^c)^2
  if (2 + 1 =z 2) then (((r(-4) * a) * e^c) * (a - e^c)/a + e^c^3)
  else (((r(16) * a^2) * e^c^2) + ((r(-4) * a^3) * e^c) + ((r(-4) * a) * e^c^3)/a + e^c^4)
  fi /r((2)!)))
* (x - rlog(a))| ≤ e
⊢ |log-contraction(a;x) - rlog(a)| ≤ (((r1/r(4)) * |x - rlog(a)|^3) + e)
BY
{ Reduce -1 }

1
1. a : ℝ
2. x : ℝ
3. r0 < a
4. |x - rlog(a)| ≤ r1
5. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
6. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
7. e : {e:ℝ| r0 < e} 
8. c : ℝ
9. rmin(rlog(a);x) ≤ c
10. c ≤ rmax(rlog(a);x)
11. |Taylor-remainder((-∞, ∞);2;x;rlog(a);k,x.if (k =z 0) then log-contraction(a;x)
if (k =z 1) then (a - e^x/a + e^x)^2
if (k =z 2) then (((r(-4) * a) * e^x) * (a - e^x)/a + e^x^3)
else (((r(16) * a^2) * e^x^2) + ((r(-4) * a^3) * e^x) + ((r(-4) * a) * e^x^3)/a + e^x^4)
fi ) - (x - c^2 * ((((r(16) * a^2) * e^c^2) + ((r(-4) * a^3) * e^c) + ((r(-4) * a) * e^c^3)/a + e^c^4)/r((2)!)))
* (x - rlog(a))| ≤ e
⊢ |log-contraction(a;x) - rlog(a)| ≤ (((r1/r(4)) * |x - rlog(a)|^3) + e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  r0  <  a
4.  |x  -  rlog(a)|  \mleq{}  r1
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))
6.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.    (r0  <  a  +  e\^{}x\^{}n)
7.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  rmin(rlog(a);x)  \mleq{}  c
10.  c  \mleq{}  rmax(rlog(a);x)
11.  |Taylor-remainder((-\minfty{},  \minfty{});2;x;rlog(a);k,x.if  (k  =\msubz{}  0)  then  log-contraction(a;x)
if  (k  =\msubz{}  1)  then  (a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x)\^{}2
if  (k  =\msubz{}  2)  then  (((r(-4)  *  a)  *  e\^{}x)  *  (a  -  e\^{}x)/a  +  e\^{}x\^{}3)
else  (((r(16)  *  a\^{}2)  *  e\^{}x\^{}2)  +  ((r(-4)  *  a\^{}3)  *  e\^{}x)  +  ((r(-4)  *  a)  *  e\^{}x\^{}3)/a  +  e\^{}x\^{}4)
fi  )  -  (x  -  c\^{}2
*  (if  (2  +  1  =\msubz{}  0)  then  log-contraction(a;c)
    if  (2  +  1  =\msubz{}  1)  then  (a  -  e\^{}c/a  +  e\^{}c)\^{}2
    if  (2  +  1  =\msubz{}  2)  then  (((r(-4)  *  a)  *  e\^{}c)  *  (a  -  e\^{}c)/a  +  e\^{}c\^{}3)
    else  (((r(16)  *  a\^{}2)  *  e\^{}c\^{}2)  +  ((r(-4)  *  a\^{}3)  *  e\^{}c)  +  ((r(-4)  *  a)  *  e\^{}c\^{}3)/a  +  e\^{}c\^{}4)
    fi  /r((2)!)))
*  (x  -  rlog(a))|  \mleq{}  e
\mvdash{}  |log-contraction(a;x)  -  rlog(a)|  \mleq{}  (((r1/r(4))  *  |x  -  rlog(a)|\^{}3)  +  e)


By

---

Latex:
Reduce  -1

---

Home Index