---

Step * 1 1 of Lemma near-log-exists


1. a : {a:ℝ| r1 ≤ a} 
2. N : ℕ+
3. b : ℕ+
4. a ≤ r(b)
5. r1 ≤ a
6. r0 < r1
7. (r1 + r(b)) ≤ e^r(b)
8. c : {2...}
9. e^r(b) ≤ r(c)
10. M : {2...}
11. M = (N * c) ∈ {2...}
⊢ ∃m:ℕ+. (∃z:ℤ [(|(r(z))/m - rlog(a)| ≤ (r1/r(N)))])
BY
{ (InstLemma `near-inverse-of-increasing-function-ext` 
   [⌜λ2x.real_exp(x)⌝;⌜N⌝;⌜M⌝;⌜a⌝;⌜0⌝;⌜b⌝;⌜1⌝]⋅
   THENA (Auto THEN RWW "real_exp-req" 0 THEN Auto)
   ) }

1
1. a : {a:ℝ| r1 ≤ a} 
2. N : ℕ+
3. b : ℕ+
4. a ≤ r(b)
5. r1 ≤ a
6. r0 < r1
7. (r1 + r(b)) ≤ e^r(b)
8. c : {2...}
9. e^r(b) ≤ r(c)
10. M : {2...}
11. M = (N * c) ∈ {2...}
12. x : ℝ
13. y : ℝ
14. (r0)/1 ≤ x
15. x < y
16. y ≤ (r(b))/1
17. real_exp(x) ≤ real_exp(y)
18. (y - x) ≤ (r1/r(M))
⊢ (e^y - e^x) ≤ (r1/r(N))

2
1. a : {a:ℝ| r1 ≤ a} 
2. N : ℕ+
3. b : ℕ+
4. a ≤ r(b)
5. r1 ≤ a
6. r0 < r1
7. (r1 + r(b)) ≤ e^r(b)
8. c : {2...}
9. e^r(b) ≤ r(c)
10. M : {2...}
11. M = (N * c) ∈ {2...}
⊢ e^(r0)/1 ≤ a

3
1. a : {a:ℝ| r1 ≤ a} 
2. N : ℕ+
3. b : ℕ+
4. a ≤ r(b)
5. r1 ≤ a
6. r0 < r1
7. (r1 + r(b)) ≤ e^r(b)
8. c : {2...}
9. e^r(b) ≤ r(c)
10. M : {2...}
11. M = (N * c) ∈ {2...}
⊢ a ≤ e^(r(b))/1

4
1. a : {a:ℝ| r1 ≤ a} 
2. N : ℕ+
3. b : ℕ+
4. a ≤ r(b)
5. r1 ≤ a
6. r0 < r1
7. (r1 + r(b)) ≤ e^r(b)
8. c : {2...}
9. e^r(b) ≤ r(c)
10. M : {2...}
11. M = (N * c) ∈ {2...}
12. ∃c:ℤ. (∃j:ℕ+ [((|real_exp((r(c))/j) - a| ≤ (r1/r(N))) ∧ ((r0)/1 ≤ (r(c))/j) ∧ ((r(c))/j ≤ (r(b))/1))])
⊢ ∃m:ℕ+. (∃z:ℤ [(|(r(z))/m - rlog(a)| ≤ (r1/r(N)))])

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  r1  \mleq{}  a\} 
2.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  a  \mleq{}  r(b)
5.  r1  \mleq{}  a
6.  r0  <  r1
7.  (r1  +  r(b))  \mleq{}  e\^{}r(b)
8.  c  :  \{2...\}
9.  e\^{}r(b)  \mleq{}  r(c)
10.  M  :  \{2...\}
11.  M  =  (N  *  c)
\mvdash{}  \mexists{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}z:\mBbbZ{}  [(|(r(z))/m  -  rlog(a)|  \mleq{}  (r1/r(N)))])


By

---

Latex:
(InstLemma  `near-inverse-of-increasing-function-ext` 
  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.real\_exp(x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}N\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}M\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}1\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THENA  (Auto  THEN  RWW  "real\_exp-req"  0  THEN  Auto)
  )

---

Home Index