---

Step * 1 of Lemma partition-sum-radd


1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. g : I ⟶ℝ
5. p : partition(I)
6. y : partition-choice(full-partition(I;p))
7. a : ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
8. y = a ∈ (ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} )
⊢ Σ{((f (a i)) + (g (a i))) * (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]) | 0≤i≤||full-partition(I;p)|| - 2}
= (Σ{(f (a i)) * (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]) | 0≤i≤||full-partition(I;p)|| - 2}
  + Σ{(g (a i)) * (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]) | 0≤i≤||full-partition(I;p)|| - 2})
BY
{ ((Assert ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ BY
          (Unfold `full-partition` 0 THEN Auto'))
   THEN (RWO "rsum_linearity1<" 0 THENA Auto)
   ) }

1
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. g : I ⟶ℝ
5. p : partition(I)
6. y : partition-choice(full-partition(I;p))
7. a : ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
8. y = a ∈ (ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} )
9. ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ
⊢ Σ{((f (a i)) + (g (a i))) * (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]) | 0≤i≤||full-partition(I;p)|| - 2}
= Σ{((f (a i)) * (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]))
  + ((g (a i)) * (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i])) | 0≤i≤||full-partition(I;p)|| - 2}

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  icompact(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  p  :  partition(I)
6.  y  :  partition-choice(full-partition(I;p))
7.  a  :  \mBbbN{}||p||  +  1  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
8.  y  =  a
\mvdash{}  \mSigma{}\{((f  (a  i))  +  (g  (a  i)))
*  (full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i])  |  0\mleq{}i\mleq{}||full-partition(I;p)||  -  2\}
=  (\mSigma{}\{(f  (a  i))
    *  (full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i])  |  0\mleq{}i\mleq{}||full-partition(I;p)||  -  2\}
    +  \mSigma{}\{(g  (a  i))
        *  (full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i])  |  0\mleq{}i\mleq{}||full-partition(I;p)||  -  2\})


By

---

Latex:
((Assert  ||full-partition(I;p)||  =  (||p||  +  2)  BY
                (Unfold  `full-partition`  0  THEN  Auto'))
  THEN  (RWO  "rsum\_linearity1<"  0  THENA  Auto)
  )

---

Home Index