---

Step * 1 1 of Lemma partition-sum-rleq


1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. g : I ⟶ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ ((f x) ≤ (g x)))
6. p : partition(I)
7. y : partition-choice(full-partition(I;p))
8. a : ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y = a ∈ (ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} )
10. ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ
11. i : ℤ
12. 0 ≤ i
13. i ≤ (||full-partition(I;p)|| - 2)
14. v : ℝ
15. v ∈ I
⊢ ((f v) * (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i])) ≤ ((g v)
* (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]))
BY
{ ((Assert frs-non-dec(full-partition(I;p)) BY
          EAuto 1)
   THEN (Assert r0 ≤ (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]) BY
               (nRAdd ⌜full-partition(I;p)[i]⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConclTerm ⌜full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. g : I ⟶ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ ((f x) ≤ (g x)))
6. p : partition(I)
7. y : partition-choice(full-partition(I;p))
8. a : ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y = a ∈ (ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} )
10. ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ
11. i : ℤ
12. 0 ≤ i
13. i ≤ (||full-partition(I;p)|| - 2)
14. v : ℝ
15. v ∈ I
16. frs-non-dec(full-partition(I;p))
17. v1 : ℝ
18. (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]) = v1 ∈ ℝ
⊢ (r0 ≤ v1) ⇒ (((f v) * v1) ≤ ((g v) * v1))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  icompact(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  \mleq{}  (g  x)))
6.  p  :  partition(I)
7.  y  :  partition-choice(full-partition(I;p))
8.  a  :  \mBbbN{}||p||  +  1  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
9.  y  =  a
10.  ||full-partition(I;p)||  =  (||p||  +  2)
11.  i  :  \mBbbZ{}
12.  0  \mleq{}  i
13.  i  \mleq{}  (||full-partition(I;p)||  -  2)
14.  v  :  \mBbbR{}
15.  v  \mmember{}  I
\mvdash{}  ((f  v)  *  (full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i]))  \mleq{}  ((g  v)
*  (full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i]))


By

---

Latex:
((Assert  frs-non-dec(full-partition(I;p))  BY
                EAuto  1)
  THEN  (Assert  r0  \mleq{}  (full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i])  BY
                          (nRAdd  \mkleeneopen{}full-partition(I;p)[i]\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index