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Step * 1 1 1 1 of Lemma rabs-integral


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : {f:[rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(a;b), rmax(a;b)])} 
4. rmin(a;b) ≤ rmin(rmin(a;b);rmax(a;b))
5. rmax(rmin(a;b);rmax(a;b)) ≤ rmax(a;b)
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
⊢ |a_∫-b f[x] dx| ≤ ((||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)] + ||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)]) * |a - b|)
BY
{ (Unfold `integral` 0
   THEN (InstLemma `r-triangle-inequality-rsub` [⌜∫ f[x] dx on [rmin(a;b), b]⌝;⌜∫ f[x] dx on [rmin(a;b), a]⌝]⋅
         THENA Auto
         )
   ) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : {f:[rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(a;b), rmax(a;b)])} 
4. rmin(a;b) ≤ rmin(rmin(a;b);rmax(a;b))
5. rmax(rmin(a;b);rmax(a;b)) ≤ rmax(a;b)
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. |∫ f[x] dx on [rmin(a;b), b] - ∫ f[x] dx on [rmin(a;b), a]| ≤ (|∫ f[x] dx on [rmin(a;b), b]|
+ |∫ f[x] dx on [rmin(a;b), a]|)
⊢ |∫ f[x] dx on [rmin(a;b), b] - ∫ f[x] dx on [rmin(a;b), a]| ≤ ((||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)]
+ ||f[x]||_x:[rmin(a;b), rmax(a;b)])
* |a - b|)

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Latex:

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Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  \{f:[rmin(a;b),  rmax(a;b)]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[rmin(a;b),  rmax(a;b)])\} 
4.  rmin(a;b)  \mleq{}  rmin(rmin(a;b);rmax(a;b))
5.  rmax(rmin(a;b);rmax(a;b))  \mleq{}  rmax(a;b)
6.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
\mvdash{}  |a\_\mint{}\msupminus{}b  f[x]  dx|  \mleq{}  ((||f[x]||\_x:[rmin(a;b),  rmax(a;b)]  +  ||f[x]||\_x:[rmin(a;b),  rmax(a;b)])
*  |a  -  b|)


By

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Latex:
(Unfold  `integral`  0
  THEN  (InstLemma  `r-triangle-inequality-rsub`  [\mkleeneopen{}\mint{}  f[x]  dx  on  [rmin(a;b),  b]\mkleeneclose{};
              \mkleeneopen{}\mint{}  f[x]  dx  on  [rmin(a;b),  a]\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  )

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