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Step * 1 1 1 of Lemma rsin-radd


1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. d(rsin(x + y))/dx = λx.rcos(x + y) on (-∞, ∞)
4. d(rcos(x + y))/dx = λx.-(rsin(x + y)) on (-∞, ∞)
5. d(-(rsin(x + y)))/dx = λx.-(rcos(x + y)) on (-∞, ∞)
6. d(-(rcos(x + y)))/dx = λx.rsin(x + y) on (-∞, ∞)
7. d((rsin(x) * rcos(y)) + (rcos(x) * rsin(y)))/dx = λx.(rcos(x) * rcos(y)) + (-(rsin(x)) * rsin(y)) on (-∞, ∞)
8. d((rcos(x) * rcos(y)) + (-(rsin(x)) * rsin(y)))/dx = λx.(-(rsin(x)) * rcos(y)) + (-(rcos(x)) * rsin(y)) on (-∞, ∞)
9. d((-(rsin(x)) * rcos(y)) + (-(rcos(x)) * rsin(y)))/dx = λx.(-(rcos(x)) * rcos(y))
+ (-(-(rsin(x))) * rsin(y)) on (-∞, ∞)
10. d((-(rcos(x)) * rcos(y)) + (-(-(rsin(x))) * rsin(y)))/dx = λx.(rsin(x) * rcos(y)) + (rcos(x) * rsin(y)) on (-∞, ∞)
⊢ rsin(x + y) = ((rsin(x) * rcos(y)) + (rcos(x) * rsin(y)))
BY
{ Assert ⌜(rsin(r0 + y) = ((rsin(r0) * rcos(y)) + (rcos(r0) * rsin(y))))
          ∧ (rcos(r0 + y) = ((rcos(r0) * rcos(y)) + (-(rsin(r0)) * rsin(y))))
          ∧ (-(rsin(r0 + y)) = ((-(rsin(r0)) * rcos(y)) + (-(rcos(r0)) * rsin(y))))
          ∧ (-(rcos(r0 + y)) = ((-(rcos(r0)) * rcos(y)) + (-(-(rsin(r0))) * rsin(y))))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. d(rsin(x + y))/dx = λx.rcos(x + y) on (-∞, ∞)
4. d(rcos(x + y))/dx = λx.-(rsin(x + y)) on (-∞, ∞)
5. d(-(rsin(x + y)))/dx = λx.-(rcos(x + y)) on (-∞, ∞)
6. d(-(rcos(x + y)))/dx = λx.rsin(x + y) on (-∞, ∞)
7. d((rsin(x) * rcos(y)) + (rcos(x) * rsin(y)))/dx = λx.(rcos(x) * rcos(y)) + (-(rsin(x)) * rsin(y)) on (-∞, ∞)
8. d((rcos(x) * rcos(y)) + (-(rsin(x)) * rsin(y)))/dx = λx.(-(rsin(x)) * rcos(y)) + (-(rcos(x)) * rsin(y)) on (-∞, ∞)
9. d((-(rsin(x)) * rcos(y)) + (-(rcos(x)) * rsin(y)))/dx = λx.(-(rcos(x)) * rcos(y))
+ (-(-(rsin(x))) * rsin(y)) on (-∞, ∞)
10. d((-(rcos(x)) * rcos(y)) + (-(-(rsin(x))) * rsin(y)))/dx = λx.(rsin(x) * rcos(y)) + (rcos(x) * rsin(y)) on (-∞, ∞)
⊢ (rsin(r0 + y) = ((rsin(r0) * rcos(y)) + (rcos(r0) * rsin(y))))
∧ (rcos(r0 + y) = ((rcos(r0) * rcos(y)) + (-(rsin(r0)) * rsin(y))))
∧ (-(rsin(r0 + y)) = ((-(rsin(r0)) * rcos(y)) + (-(rcos(r0)) * rsin(y))))
∧ (-(rcos(r0 + y)) = ((-(rcos(r0)) * rcos(y)) + (-(-(rsin(r0))) * rsin(y))))

2
1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. d(rsin(x + y))/dx = λx.rcos(x + y) on (-∞, ∞)
4. d(rcos(x + y))/dx = λx.-(rsin(x + y)) on (-∞, ∞)
5. d(-(rsin(x + y)))/dx = λx.-(rcos(x + y)) on (-∞, ∞)
6. d(-(rcos(x + y)))/dx = λx.rsin(x + y) on (-∞, ∞)
7. d((rsin(x) * rcos(y)) + (rcos(x) * rsin(y)))/dx = λx.(rcos(x) * rcos(y)) + (-(rsin(x)) * rsin(y)) on (-∞, ∞)
8. d((rcos(x) * rcos(y)) + (-(rsin(x)) * rsin(y)))/dx = λx.(-(rsin(x)) * rcos(y)) + (-(rcos(x)) * rsin(y)) on (-∞, ∞)
9. d((-(rsin(x)) * rcos(y)) + (-(rcos(x)) * rsin(y)))/dx = λx.(-(rcos(x)) * rcos(y))
+ (-(-(rsin(x))) * rsin(y)) on (-∞, ∞)
10. d((-(rcos(x)) * rcos(y)) + (-(-(rsin(x))) * rsin(y)))/dx = λx.(rsin(x) * rcos(y)) + (rcos(x) * rsin(y)) on (-∞, ∞)
11. (rsin(r0 + y) = ((rsin(r0) * rcos(y)) + (rcos(r0) * rsin(y))))
∧ (rcos(r0 + y) = ((rcos(r0) * rcos(y)) + (-(rsin(r0)) * rsin(y))))
∧ (-(rsin(r0 + y)) = ((-(rsin(r0)) * rcos(y)) + (-(rcos(r0)) * rsin(y))))
∧ (-(rcos(r0 + y)) = ((-(rcos(r0)) * rcos(y)) + (-(-(rsin(r0))) * rsin(y))))
⊢ rsin(x + y) = ((rsin(x) * rcos(y)) + (rcos(x) * rsin(y)))

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Latex:

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Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbR{}
3.  d(rsin(x  +  y))/dx  =  \mlambda{}x.rcos(x  +  y)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
4.  d(rcos(x  +  y))/dx  =  \mlambda{}x.-(rsin(x  +  y))  on  (-\minfty{},  \minfty{})
5.  d(-(rsin(x  +  y)))/dx  =  \mlambda{}x.-(rcos(x  +  y))  on  (-\minfty{},  \minfty{})
6.  d(-(rcos(x  +  y)))/dx  =  \mlambda{}x.rsin(x  +  y)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
7.  d((rsin(x)  *  rcos(y))  +  (rcos(x)  *  rsin(y)))/dx  =  \mlambda{}x.(rcos(x)  *  rcos(y))
+  (-(rsin(x))  *  rsin(y))  on  (-\minfty{},  \minfty{})
8.  d((rcos(x)  *  rcos(y))  +  (-(rsin(x))  *  rsin(y)))/dx  =  \mlambda{}x.(-(rsin(x))  *  rcos(y))
+  (-(rcos(x))  *  rsin(y))  on  (-\minfty{},  \minfty{})
9.  d((-(rsin(x))  *  rcos(y))  +  (-(rcos(x))  *  rsin(y)))/dx  =  \mlambda{}x.(-(rcos(x))  *  rcos(y))
+  (-(-(rsin(x)))  *  rsin(y))  on  (-\minfty{},  \minfty{})
10.  d((-(rcos(x))  *  rcos(y))  +  (-(-(rsin(x)))  *  rsin(y)))/dx  =  \mlambda{}x.(rsin(x)  *  rcos(y))
+  (rcos(x)  *  rsin(y))  on  (-\minfty{},  \minfty{})
\mvdash{}  rsin(x  +  y)  =  ((rsin(x)  *  rcos(y))  +  (rcos(x)  *  rsin(y)))


By

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Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(rsin(r0  +  y)  =  ((rsin(r0)  *  rcos(y))  +  (rcos(r0)  *  rsin(y))))
                \mwedge{}  (rcos(r0  +  y)  =  ((rcos(r0)  *  rcos(y))  +  (-(rsin(r0))  *  rsin(y))))
                \mwedge{}  (-(rsin(r0  +  y))  =  ((-(rsin(r0))  *  rcos(y))  +  (-(rcos(r0))  *  rsin(y))))
                \mwedge{}  (-(rcos(r0  +  y))  =  ((-(rcos(r0))  *  rcos(y))  +  (-(-(rsin(r0)))  *  rsin(y))))\mkleeneclose{}\mcdot{}

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