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Step * of Lemma rtan-rsub

∀[x,y:{x:ℝ| x ∈ (-(π/2), π/2)} ].
  rtan(x - y) = (rtan(x) - rtan(y)/r1 + (rtan(x) * rtan(y))) supposing x - y ∈ (-(π/2), π/2)
BY
{ ((Assert ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (-(π/2), π/2)} .
             (r0 < rcos(x)) ∧ (r0 < rcos(y)) ∧ (r0 < (r1 - (rsin(x)/rcos(x)) * (rsin(y)/rcos(y)))) 
             supposing x + y ∈ (-(π/2), π/2) BY
          (Auto
           THEN (InstLemma `rcos-positive` [⌜x + y⌝]⋅ THENA Auto)
           THEN (RWO "rcos-radd" (-1) THENA Auto)
           THEN RepUR ``rtan`` 0
           THEN nRMul ⌜rcos(x)⌝ 0⋅
           THEN nRMul ⌜rcos(y)⌝ 0⋅
           THEN Auto))
   THEN ((Intros THEN (Unhide THENA Auto))
         THEN (Assert -(y) ∈ {x:ℝ| (-(π/2) < x) ∧ (x < π/2)}  BY
                     (DVar `y' THEN All Reduce THEN MemTypeCD THEN Auto))
         )
   THEN (InstHyp [⌜x⌝;⌜-(y)⌝] 1⋅ THENA Auto)
   THEN Fold `rtan` (-1)
   THEN RWO "rtan-rminus" (-1)
   THEN Auto) }

1
1. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (-(π/2), π/2)} .
     (r0 < rcos(x)) ∧ (r0 < rcos(y)) ∧ (r0 < (r1 - (rsin(x)/rcos(x)) * (rsin(y)/rcos(y)))) 
     supposing x + y ∈ (-(π/2), π/2)
2. x : {x:ℝ| x ∈ (-(π/2), π/2)} 
3. y : {x:ℝ| x ∈ (-(π/2), π/2)} 
4. x - y ∈ (-(π/2), π/2)
5. -(y) ∈ {x:ℝ| (-(π/2) < x) ∧ (x < π/2)} 
6. r0 < rcos(x)
7. r0 < rcos(-(y))
8. r0 < (r1 - rtan(x) * -(rtan(y)))
⊢ rtan(x - y) = (rtan(x) - rtan(y)/r1 + (rtan(x) * rtan(y)))

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Latex:

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Latex:
\mforall{}[x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (-(\mpi{}/2),  \mpi{}/2)\}  ].
    rtan(x  -  y)  =  (rtan(x)  -  rtan(y)/r1  +  (rtan(x)  *  rtan(y)))  supposing  x  -  y  \mmember{}  (-(\mpi{}/2),  \mpi{}/2)


By

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Latex:
((Assert  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (-(\mpi{}/2),  \mpi{}/2)\}  .
                      (r0  <  rcos(x))  \mwedge{}  (r0  <  rcos(y))  \mwedge{}  (r0  <  (r1  -  (rsin(x)/rcos(x))  *  (rsin(y)/rcos(y)))) 
                      supposing  x  +  y  \mmember{}  (-(\mpi{}/2),  \mpi{}/2)  BY
                (Auto
                  THEN  (InstLemma  `rcos-positive`  [\mkleeneopen{}x  +  y\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                  THEN  (RWO  "rcos-radd"  (-1)  THENA  Auto)
                  THEN  RepUR  ``rtan``  0
                  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}rcos(x)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}rcos(y)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                  THEN  Auto))
  THEN  ((Intros  THEN  (Unhide  THENA  Auto))
              THEN  (Assert  -(y)  \mmember{}  \{x:\mBbbR{}|  (-(\mpi{}/2)  <  x)  \mwedge{}  (x  <  \mpi{}/2)\}    BY
                                      (DVar  `y'  THEN  All  Reduce  THEN  MemTypeCD  THEN  Auto))
              )
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}-(y)\mkleeneclose{}]  1\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Fold  `rtan`  (-1)
  THEN  RWO  "rtan-rminus"  (-1)
  THEN  Auto)

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