---

Step * 1 of Lemma second-derivative-log-contraction

.....assertion..... 
1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. a + e^x≠r0 for x ∈ (-∞, ∞)
⊢ d((a - e^x/a + e^x))/dx = λx.((r(-2) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞)
BY
{ ((AssertDerivative THENA (ProveDerivative THEN Auto))
   THEN ((Assert ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x)) BY
                (Auto THEN (RWO "rexp-positive<" 0 THENM nRNorm 0) THEN Auto))
         THEN (Assert ∀x:ℝ. (r0 < a + e^x^2) BY
                     (Auto THEN (RWO  "rnexp2" 0 THENA Auto) THEN BLemma `rmul-is-positive` THEN Auto))
         THEN (Assert ∀x:ℝ. (r0 < ((a + e^x) * (a + e^x))) BY
                     (Auto THEN BLemma `rmul-is-positive` THEN Auto)))
   THEN DerivativeFunctionality (-4)
   THEN Auto) }

1
1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. a + e^x≠r0 for x ∈ (-∞, ∞)
3. d((a - e^x/a + e^x))/dx = λx.(((a + e^x) * (r0 - e^x)) - (a - e^x) * (r0 + e^x)/(a + e^x) * (a + e^x)) on (-∞, ∞)
4. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
5. ∀x:ℝ. (r0 < a + e^x^2)
6. ∀x:ℝ. (r0 < ((a + e^x) * (a + e^x)))
7. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
⊢ (((a + e^x) * (r0 - e^x)) - (a - e^x) * (r0 + e^x)/(a + e^x) * (a + e^x)) = ((r(-2) * a) * e^x/a + e^x^2)

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  r0  <  a\} 
2.  a  +  e\^{}x\mneq{}r0  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})
\mvdash{}  d((a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x))/dx  =  \mlambda{}x.((r(-2)  *  a)  *  e\^{}x/a  +  e\^{}x\^{}2)  on  (-\minfty{},  \minfty{})


By

---

Latex:
((AssertDerivative  THENA  (ProveDerivative  THEN  Auto))
  THEN  ((Assert  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))  BY
                            (Auto  THEN  (RWO  "rexp-positive<"  0  THENM  nRNorm  0)  THEN  Auto))
              THEN  (Assert  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  a  +  e\^{}x\^{}2)  BY
                                      (Auto
                                        THEN  (RWO    "rnexp2"  0  THENA  Auto)
                                        THEN  BLemma  `rmul-is-positive`
                                        THEN  Auto))
              THEN  (Assert  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  ((a  +  e\^{}x)  *  (a  +  e\^{}x)))  BY
                                      (Auto  THEN  BLemma  `rmul-is-positive`  THEN  Auto)))
  THEN  DerivativeFunctionality  (-4)
  THEN  Auto)

---

Home Index