---

Step * 2 of Lemma second-derivative-log-contraction


1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. a + e^x≠r0 for x ∈ (-∞, ∞)
3. d((a - e^x/a + e^x))/dx = λx.((r(-2) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞)
⊢ d((a - e^x/a + e^x)^2)/dx = λx.(((r(-4) * a) * e^x) * (a - e^x)/a + e^x^3) on (-∞, ∞)
BY
{ (((Assert ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x)) BY
           (Auto THEN (RWO "rexp-positive<" 0 THENM nRNorm 0) THEN Auto))
    THEN (Assert ∀x:ℝ. (r0 < a + e^x^2) BY
                (Auto THEN (RWO  "rnexp2" 0 THENA Auto) THEN BLemma `rmul-is-positive` THEN Auto))
    THEN (Assert ∀x:ℝ. (r0 < ((a + e^x) * (a + e^x))) BY
                (Auto THEN BLemma `rmul-is-positive` THEN Auto)))
   THEN (FLemma `derivative-rnexp2` [-4] THENA Auto)
   ) }

1
1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. a + e^x≠r0 for x ∈ (-∞, ∞)
3. d((a - e^x/a + e^x))/dx = λx.((r(-2) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞)
4. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
5. ∀x:ℝ. (r0 < a + e^x^2)
6. ∀x:ℝ. (r0 < ((a + e^x) * (a + e^x)))
7. d((a - e^x/a + e^x)^2)/dx = λx.(r(2) * ((r(-2) * a) * e^x/a + e^x^2)) * (a - e^x/a + e^x) on (-∞, ∞)
⊢ d((a - e^x/a + e^x)^2)/dx = λx.(((r(-4) * a) * e^x) * (a - e^x)/a + e^x^3) on (-∞, ∞)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  r0  <  a\} 
2.  a  +  e\^{}x\mneq{}r0  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})
3.  d((a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x))/dx  =  \mlambda{}x.((r(-2)  *  a)  *  e\^{}x/a  +  e\^{}x\^{}2)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
\mvdash{}  d((a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x)\^{}2)/dx  =  \mlambda{}x.(((r(-4)  *  a)  *  e\^{}x)  *  (a  -  e\^{}x)/a  +  e\^{}x\^{}3)  on  (-\minfty{},  \minfty{})


By

---

Latex:
(((Assert  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))  BY
                  (Auto  THEN  (RWO  "rexp-positive<"  0  THENM  nRNorm  0)  THEN  Auto))
    THEN  (Assert  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  a  +  e\^{}x\^{}2)  BY
                            (Auto  THEN  (RWO    "rnexp2"  0  THENA  Auto)  THEN  BLemma  `rmul-is-positive`  THEN  Auto))
    THEN  (Assert  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  ((a  +  e\^{}x)  *  (a  +  e\^{}x)))  BY
                            (Auto  THEN  BLemma  `rmul-is-positive`  THEN  Auto)))
  THEN  (FLemma  `derivative-rnexp2`  [-4]  THENA  Auto)
  )

---

Home Index