---

Step * 1 1 of Lemma separated-partition-sum


1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I
5. ∀m,n:ℕ+.
     (mc m n ∈ {d:ℝ| (r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n)))))} )
6. q : partition(I)
7. n : ℕ+
8. partition-mesh(I;q) ≤ (mc 1 n)
9. p : partition(I)
10. m : ℕ+
11. partition-mesh(I;p) ≤ (mc 1 m)
12. separated-partitions(p;q)
13. R : partition(I)
14. frs-increasing(R)
15. R refines p
16. R refines q
17. x : partition-choice(full-partition(I;p))
18. y : partition-choice(full-partition(I;q))
19. |S(f;full-partition(I;p)) - S(f;full-partition(I;R))| ≤ ((r1/r(m)) * |I|)
20. |S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;R))| ≤ ((r1/r(n)) * |I|)
⊢ |S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ (((r1/r(n)) + (r1/r(m))) * |I|)
BY
{ ((Assert frs-non-dec(full-partition(I;R)) BY EAuto 1) THEN UseTriangleInequality [⌜S(f;full-partition(I;R))⌝]⋅) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  icompact(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
5.  \mforall{}m,n:\mBbbN{}\msupplus{}.
          (mc  m  n  \mmember{}  \{d:\mBbbR{}| 
                                (r0  <  d)
                                \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n)))))\}  )
6.  q  :  partition(I)
7.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  partition-mesh(I;q)  \mleq{}  (mc  1  n)
9.  p  :  partition(I)
10.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  partition-mesh(I;p)  \mleq{}  (mc  1  m)
12.  separated-partitions(p;q)
13.  R  :  partition(I)
14.  frs-increasing(R)
15.  R  refines  p
16.  R  refines  q
17.  x  :  partition-choice(full-partition(I;p))
18.  y  :  partition-choice(full-partition(I;q))
19.  |S(f;full-partition(I;p))  -  S(f;full-partition(I;R))|  \mleq{}  ((r1/r(m))  *  |I|)
20.  |S(f;full-partition(I;q))  -  S(f;full-partition(I;R))|  \mleq{}  ((r1/r(n))  *  |I|)
\mvdash{}  |S(f;full-partition(I;q))  -  S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  (((r1/r(n))  +  (r1/r(m)))  *  |I|)


By

---

Latex:
((Assert  frs-non-dec(full-partition(I;R))  BY
                EAuto  1)
  THEN  UseTriangleInequality  [\mkleeneopen{}S(f;full-partition(I;R))\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  )

---

Home Index