---

Step * 2 1 2 1 1 of Lemma small-rexp-remainder


1. x : {x:ℝ| |x| ≤ (r1/r(4))} 
2. n : ℕ
3. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
4. e : {e:ℝ| r0 < e} 
5. c : ℝ
6. rmin(r0;x) ≤ c
7. c ≤ rmax(r0;x)
8. r0 < r(4^n * 3 * (n)!)
9. v : ℝ
10. Taylor-remainder((-∞, ∞);n;x;r0;k,x.e^x) = v ∈ ℝ
11. v1 : ℝ
12. (e^x - Σ{(x^k/r((k)!)) | 0≤k≤n}) = v1 ∈ ℝ
⊢ (|v - (x - c^n * (e^c/r((n)!))) * (x - r0)| ≤ e) ⇒ (v1 = v) ⇒ (|v1| ≤ ((r1/r(4^n * 3 * (n)!)) + e))
BY
{ (Auto THEN (RWO  "-1" 0 THENA Auto)) }

1
1. x : {x:ℝ| |x| ≤ (r1/r(4))} 
2. n : ℕ
3. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
4. e : {e:ℝ| r0 < e} 
5. c : ℝ
6. rmin(r0;x) ≤ c
7. c ≤ rmax(r0;x)
8. r0 < r(4^n * 3 * (n)!)
9. v : ℝ
10. Taylor-remainder((-∞, ∞);n;x;r0;k,x.e^x) = v ∈ ℝ
11. v1 : ℝ
12. (e^x - Σ{(x^k/r((k)!)) | 0≤k≤n}) = v1 ∈ ℝ
13. |v - (x - c^n * (e^c/r((n)!))) * (x - r0)| ≤ e
14. v1 = v
⊢ |v| ≤ ((r1/r(4^n * 3 * (n)!)) + e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  (r1/r(4))\} 
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  \mneg{}(n  =  0)
4.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
5.  c  :  \mBbbR{}
6.  rmin(r0;x)  \mleq{}  c
7.  c  \mleq{}  rmax(r0;x)
8.  r0  <  r(4\^{}n  *  3  *  (n)!)
9.  v  :  \mBbbR{}
10.  Taylor-remainder((-\minfty{},  \minfty{});n;x;r0;k,x.e\^{}x)  =  v
11.  v1  :  \mBbbR{}
12.  (e\^{}x  -  \mSigma{}\{(x\^{}k/r((k)!))  |  0\mleq{}k\mleq{}n\})  =  v1
\mvdash{}  (|v  -  (x  -  c\^{}n  *  (e\^{}c/r((n)!)))  *  (x  -  r0)|  \mleq{}  e)
{}\mRightarrow{}  (v1  =  v)
{}\mRightarrow{}  (|v1|  \mleq{}  ((r1/r(4\^{}n  *  3  *  (n)!))  +  e))


By

---

Latex:
(Auto  THEN  (RWO    "-1"  0  THENA  Auto))

---

Home Index