---

Step * 1 of Lemma third-derivative-log-contraction-nonneg


1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. x : ℝ
3. |x - rlog(a)| ≤ r1
4. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
5. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
⊢ r0 ≤ ((r(-4) * e^x * a^3) + (r(16) * e^x^2 * a^2) + (r(-4) * e^x^3 * a))
BY
{ ((Assert (e^rlog(a) ≤ e^x + r1) ∧ (e^x - r1 ≤ e^rlog(a)) BY
          (RWO  "rabs-difference-bound-rleq" 3
           THEN Auto
           THEN (BLemma `rexp_functionality_wrt_rleq` THENA Auto)
           THEN (nRAdd ⌜r1⌝ 3⋅ THEN Auto)
           THEN nRAdd ⌜r1⌝ 0⋅
           THEN Auto))
   THEN Unfold `rsub` -1
   THEN (RWO "rexp-rlog rexp-radd" (-1) THENA Auto)) }

1
1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. x : ℝ
3. |x - rlog(a)| ≤ r1
4. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
5. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
6. (a ≤ (e^x * e^r1)) ∧ ((e^x * e^-(r1)) ≤ a)
⊢ r0 ≤ ((r(-4) * e^x * a^3) + (r(16) * e^x^2 * a^2) + (r(-4) * e^x^3 * a))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  r0  <  a\} 
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  |x  -  rlog(a)|  \mleq{}  r1
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.    (r0  <  a  +  e\^{}x\^{}n)
\mvdash{}  r0  \mleq{}  ((r(-4)  *  e\^{}x  *  a\^{}3)  +  (r(16)  *  e\^{}x\^{}2  *  a\^{}2)  +  (r(-4)  *  e\^{}x\^{}3  *  a))


By

---

Latex:
((Assert  (e\^{}rlog(a)  \mleq{}  e\^{}x  +  r1)  \mwedge{}  (e\^{}x  -  r1  \mleq{}  e\^{}rlog(a))  BY
                (RWO    "rabs-difference-bound-rleq"  3
                  THEN  Auto
                  THEN  (BLemma  `rexp\_functionality\_wrt\_rleq`  THENA  Auto)
                  THEN  (nRAdd  \mkleeneopen{}r1\mkleeneclose{}  3\mcdot{}  THEN  Auto)
                  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}r1\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                  THEN  Auto))
  THEN  Unfold  `rsub`  -1
  THEN  (RWO  "rexp-rlog  rexp-radd"  (-1)  THENA  Auto))

---

Home Index