---

Step * 1 1 of Lemma third-derivative-log-contraction-nonneg


1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. x : ℝ
3. |x - rlog(a)| ≤ r1
4. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
5. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
6. (a ≤ (e^x * e^r1)) ∧ ((e^x * e^-(r1)) ≤ a)
⊢ r0 ≤ ((r(-4) * e^x * a^3) + (r(16) * e^x^2 * a^2) + (r(-4) * e^x^3 * a))
BY
{ (MoveToConcl (-1) THEN (Assert r0 < e^x BY Auto) THEN MoveToConcl (-1) THEN GenConcl ⌜e^x = b ∈ ℝ⌝⋅ THEN Auto) }

1
1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. x : ℝ
3. |x - rlog(a)| ≤ r1
4. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
5. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
6. b : ℝ
7. e^x = b ∈ ℝ
8. r0 < b
9. a ≤ (b * e^r1)
10. (b * e^-(r1)) ≤ a
⊢ r0 ≤ ((r(-4) * b * a^3) + (r(16) * b^2 * a^2) + (r(-4) * b^3 * a))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  r0  <  a\} 
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  |x  -  rlog(a)|  \mleq{}  r1
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.    (r0  <  a  +  e\^{}x\^{}n)
6.  (a  \mleq{}  (e\^{}x  *  e\^{}r1))  \mwedge{}  ((e\^{}x  *  e\^{}-(r1))  \mleq{}  a)
\mvdash{}  r0  \mleq{}  ((r(-4)  *  e\^{}x  *  a\^{}3)  +  (r(16)  *  e\^{}x\^{}2  *  a\^{}2)  +  (r(-4)  *  e\^{}x\^{}3  *  a))


By

---

Latex:
(MoveToConcl  (-1)
  THEN  (Assert  r0  <  e\^{}x  BY
                          Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  GenConcl  \mkleeneopen{}e\^{}x  =  b\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index