---

Step * 1 1 2 of Lemma adjunction-monad_wf


1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6. a2 : nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7. counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1, a2>);snd(<a1, a2>))
⊢ ∀A1,B:cat-ob(A). ∀g:cat-arrow(A) A1 B.
    ((cat-comp(A) (ob(functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G))) A1) (ob(functor-comp(F;G)) A1) 
      (ob(functor-comp(F;G)) B) 
      (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) A1))) (ob(F) A1) ((fst(<a1, a2>)) (ob(F) A1))) 
      (arrow(functor-comp(F;G)) A1 B g))
    = (cat-comp(A) (ob(functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G))) A1) 
       (ob(functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G))) B) 
       (ob(functor-comp(F;G)) B) 
       (arrow(functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G))) A1 B g) 
       (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) B))) (ob(F) B) ((fst(<a1, a2>)) (ob(F) B))))
    ∈ (cat-arrow(A) (ob(functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G))) A1) (ob(functor-comp(F;G)) B)))
BY
{ (D -1 THEN (DVar `a2' THEN DVar `a1') THEN All (RepUR ``functor-comp id_functor``) THEN Auto) }

1
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : A:cat-ob(B) ⟶ (cat-arrow(B) (ob(F) (ob(G) A)) A)
6. ∀A,B@0:cat-ob(B). ∀g:cat-arrow(B) A B@0.
     ((cat-comp(B) (ob(F) (ob(G) A)) A B@0 (a1 A) g)
     = (cat-comp(B) (ob(F) (ob(G) A)) (ob(F) (ob(G) B@0)) B@0 (arrow(F) (ob(G) A) (ob(G) B@0) (arrow(G) A B@0 g)) 
        (a1 B@0))
     ∈ (cat-arrow(B) (ob(F) (ob(G) A)) B@0))
7. a2 : A@0:cat-ob(A) ⟶ (cat-arrow(A) A@0 (ob(G) (ob(F) A@0)))
8. ∀A@0,B:cat-ob(A). ∀g:cat-arrow(A) A@0 B.
     ((cat-comp(A) A@0 (ob(G) (ob(F) A@0)) (ob(G) (ob(F) B)) (a2 A@0) 
       (arrow(G) (ob(F) A@0) (ob(F) B) (arrow(F) A@0 B g)))
     = (cat-comp(A) A@0 B (ob(G) (ob(F) B)) g (a2 B))
     ∈ (cat-arrow(A) A@0 (ob(G) (ob(F) B))))
9. ∀d:cat-ob(A)
     ((cat-comp(B) (ob(F) d) (ob(F) (ob(G) (ob(F) d))) (ob(F) d) (arrow(F) d (ob(G) (ob(F) d)) ((snd(<a1, a2>)) d)) 
       ((fst(<a1, a2>)) (ob(F) d)))
     = (cat-id(B) (ob(F) d))
     ∈ (cat-arrow(B) (ob(F) d) (ob(F) d)))
10. ∀c:cat-ob(B)
      ((cat-comp(A) (ob(G) c) (ob(G) (ob(F) (ob(G) c))) (ob(G) c) ((snd(<a1, a2>)) (ob(G) c)) 
        (arrow(G) (ob(F) (ob(G) c)) c ((fst(<a1, a2>)) c)))
      = (cat-id(A) (ob(G) c))
      ∈ (cat-arrow(A) (ob(G) c) (ob(G) c)))
11. A1 : cat-ob(A)
12. B1 : cat-ob(A)
13. g : cat-arrow(A) A1 B1
⊢ (cat-comp(A) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) A1)))) (ob(G) (ob(F) A1)) (ob(G) (ob(F) B1)) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) A1))) (ob(F) A1) (a1 (ob(F) A1))) 
   (arrow(G) (ob(F) A1) (ob(F) B1) (arrow(F) A1 B1 g)))
= (cat-comp(A) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) A1)))) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) B1)))) (ob(G) (ob(F) B1)) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) A1))) (ob(F) (ob(G) (ob(F) B1))) 
    (arrow(F) (ob(G) (ob(F) A1)) (ob(G) (ob(F) B1)) (arrow(G) (ob(F) A1) (ob(F) B1) (arrow(F) A1 B1 g)))) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) B1))) (ob(F) B1) (a1 (ob(F) B1))))
∈ (cat-arrow(A) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) A1)))) (ob(G) (ob(F) B1)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  SmallCategory
2.  B  :  SmallCategory
3.  F  :  Functor(A;B)
4.  G  :  Functor(B;A)
5.  a1  :  nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6.  a2  :  nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7.  counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1,  a2>);snd(<a1,  a2>))
\mvdash{}  \mforall{}A1,B:cat-ob(A).  \mforall{}g:cat-arrow(A)  A1  B.
        ((cat-comp(A)  (ob(functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G)))  A1) 
            (ob(functor-comp(F;G))  A1) 
            (ob(functor-comp(F;G))  B) 
            (arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  A1)))  (ob(F)  A1)  ((fst(<a1,  a2>))  (ob(F)  A1))) 
            (arrow(functor-comp(F;G))  A1  B  g))
        =  (cat-comp(A)  (ob(functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G)))  A1) 
              (ob(functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G)))  B) 
              (ob(functor-comp(F;G))  B) 
              (arrow(functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G)))  A1  B  g) 
              (arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  B)))  (ob(F)  B)  ((fst(<a1,  a2>))  (ob(F)  B)))))


By

---

Latex:
(D  -1  THEN  (DVar  `a2'  THEN  DVar  `a1')  THEN  All  (RepUR  ``functor-comp  id\_functor``)  THEN  Auto)

---

Home Index