---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma coW-equiv-iff3


1. [A] : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. w' : coW(A;a.B[a])
5. e : coW-equiv(a.B[a];w;w')
6. p : ℕ ⟶ copath(a.B[a];w')
7. [%2] : ∀n:ℕ. ((∀i:ℕn. (copath-length(p i) = i ∈ ℤ)) ⇒ (∀i:ℕn - 1. copathAgree(a.B[a];w';p i;p (i + 1))))
8. n : ℕ
9. q : copath(a.B[a];w)
10. ∀i:ℕn + 2. (copath-length(p i) = i ∈ ℤ)
11. copath-length(q) = n ∈ ℤ
12. coW-equiv(a.B[a];copath-at(w;q);copath-at(w';p n))
13. copathAgree(a.B[a];w';p n;p (n + 1))
⊢ ∃y:copath(a.B[a];w)
   (copathAgree(a.B[a];w;q;y)
   ∧ (copath-length(y) = (n + 1) ∈ ℤ)
   ∧ coW-equiv(a.B[a];copath-at(w;y);copath-at(w';p (n + 1))))
BY
{ ((RWO "coW-equiv-iff" (-2) THENA Auto)
   THEN (InstHyp [⌜copath-at(w';p (n + 1))⌝] (-2)⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (D -1)) }

1
.....antecedent..... 
1. [A] : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. w' : coW(A;a.B[a])
5. e : coW-equiv(a.B[a];w;w')
6. p : ℕ ⟶ copath(a.B[a];w')
7. [%2] : ∀n:ℕ. ((∀i:ℕn. (copath-length(p i) = i ∈ ℤ)) ⇒ (∀i:ℕn - 1. copathAgree(a.B[a];w';p i;p (i + 1))))
8. n : ℕ
9. q : copath(a.B[a];w)
10. ∀i:ℕn + 2. (copath-length(p i) = i ∈ ℤ)
11. copath-length(q) = n ∈ ℤ
12. ∀z:coW(A;a.B[a]). (coWmem(a.B[a];z;copath-at(w;q)) ⇐⇒ coWmem(a.B[a];z;copath-at(w';p n)))
13. copathAgree(a.B[a];w';p n;p (n + 1))
14. coWmem(a.B[a];copath-at(w';p (n + 1));copath-at(w;q)) ⇒ coWmem(a.B[a];copath-at(w';p (n + 1));copath-at(w';p n))
⊢ coWmem(a.B[a];copath-at(w';p (n + 1));copath-at(w';p n))

2
1. [A] : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. w' : coW(A;a.B[a])
5. e : coW-equiv(a.B[a];w;w')
6. p : ℕ ⟶ copath(a.B[a];w')
7. [%2] : ∀n:ℕ. ((∀i:ℕn. (copath-length(p i) = i ∈ ℤ)) ⇒ (∀i:ℕn - 1. copathAgree(a.B[a];w';p i;p (i + 1))))
8. n : ℕ
9. q : copath(a.B[a];w)
10. ∀i:ℕn + 2. (copath-length(p i) = i ∈ ℤ)
11. copath-length(q) = n ∈ ℤ
12. ∀z:coW(A;a.B[a]). (coWmem(a.B[a];z;copath-at(w;q)) ⇐⇒ coWmem(a.B[a];z;copath-at(w';p n)))
13. copathAgree(a.B[a];w';p n;p (n + 1))
14. coWmem(a.B[a];copath-at(w';p (n + 1));copath-at(w;q)) ⇒ coWmem(a.B[a];copath-at(w';p (n + 1));copath-at(w';p n))
15. coWmem(a.B[a];copath-at(w';p (n + 1));copath-at(w;q))
⊢ ∃y:copath(a.B[a];w)
   (copathAgree(a.B[a];w;q;y)
   ∧ (copath-length(y) = (n + 1) ∈ ℤ)
   ∧ coW-equiv(a.B[a];copath-at(w;y);copath-at(w';p (n + 1))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  \mBbbU{}'
2.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
3.  w  :  coW(A;a.B[a])
4.  w'  :  coW(A;a.B[a])
5.  e  :  coW-equiv(a.B[a];w;w')
6.  p  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  copath(a.B[a];w')
7.  [\%2]  :  \mforall{}n:\mBbbN{}
                        ((\mforall{}i:\mBbbN{}n.  (copath-length(p  i)  =  i))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}n  -  1.  copathAgree(a.B[a];w';p  i;p  (i  +  1))))
8.  n  :  \mBbbN{}
9.  q  :  copath(a.B[a];w)
10.  \mforall{}i:\mBbbN{}n  +  2.  (copath-length(p  i)  =  i)
11.  copath-length(q)  =  n
12.  coW-equiv(a.B[a];copath-at(w;q);copath-at(w';p  n))
13.  copathAgree(a.B[a];w';p  n;p  (n  +  1))
\mvdash{}  \mexists{}y:copath(a.B[a];w)
      (copathAgree(a.B[a];w;q;y)
      \mwedge{}  (copath-length(y)  =  (n  +  1))
      \mwedge{}  coW-equiv(a.B[a];copath-at(w;y);copath-at(w';p  (n  +  1))))


By

---

Latex:
((RWO  "coW-equiv-iff"  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}copath-at(w';p  (n  +  1))\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (D  -1))

---

Home Index