---

Step * 2 2 1 1 of Lemma finite-Ramsey1


1. s : ℕ2 ⟶ ℕ
⊢ ∃N:ℕ+
   ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2. ∃i:ℕ2. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))
BY
{ Assert ⌜∀k:ℕ. ∀s:ℕ2 ⟶ ℕ.
            ((((s 0) + (s 1)) ≤ k)
            ⇒ (∃N:ℕ+
                 ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2
                   ∃i:ℕ2. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. s : ℕ2 ⟶ ℕ
⊢ ∀k:ℕ. ∀s:ℕ2 ⟶ ℕ.
    ((((s 0) + (s 1)) ≤ k)
    ⇒ (∃N:ℕ+
         ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2
           ∃i:ℕ2. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))))

2
1. s : ℕ2 ⟶ ℕ
2. ∀k:ℕ. ∀s:ℕ2 ⟶ ℕ.
     ((((s 0) + (s 1)) ≤ k)
     ⇒ (∃N:ℕ+
          ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2
            ∃i:ℕ2. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))))
⊢ ∃N:ℕ+
   ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2. ∃i:ℕ2. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  s  :  \mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
      \mforall{}g:\mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}2
          \mexists{}i:\mBbbN{}2.  \mexists{}f:\mBbbN{}s  i  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N.  (Inj(\mBbbN{}s  i;\mBbbN{}N;f)  \mwedge{}  (\mforall{}a,b:\mBbbN{}s  i.    (f  a  <  f  b  {}\mRightarrow{}  ((g  (f  a)  (f  b))  =  i))))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.
                    ((((s  0)  +  (s  1))  \mleq{}  k)
                    {}\mRightarrow{}  (\mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
                              \mforall{}g:\mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}2
                                  \mexists{}i:\mBbbN{}2
                                    \mexists{}f:\mBbbN{}s  i  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N
                                      (Inj(\mBbbN{}s  i;\mBbbN{}N;f)  \mwedge{}  (\mforall{}a,b:\mBbbN{}s  i.    (f  a  <  f  b  {}\mRightarrow{}  ((g  (f  a)  (f  b))  =  i))))))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index