---

Step * 2 2 2 1 of Lemma finite-Ramsey1


1. c : ℕ
2. ∀c:ℕc. ∀s:ℕc ⟶ ℕ.
     ∃N:ℕ+
      ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕc. ∃i:ℕc. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))
3. s : ℕc ⟶ ℕ
4. ¬(c = 0 ∈ ℤ)
5. ¬(c = 1 ∈ ℤ)
6. ¬(c = 2 ∈ ℤ)
7. N : ℕ+
8. ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2
     ∃i:ℕ2
      ∃f:ℕ[s 0; s 1][i] ⟶ ℕN
       (Inj(ℕ[s 0; s 1][i];ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕ[s 0; s 1][i].  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))
⊢ ∃N:ℕ+
   ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕc. ∃i:ℕc. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))
BY
{ ((InstHyp [⌜c - 1⌝;⌜λi.if (i =z 0) then N else s (i + 1) fi ⌝] 2⋅ THENA Auto)
   THEN Reduce -1
   THEN ExRepD
   THEN RenameVar  `M' (-2)
   THEN D 0 With ⌜M⌝ 
   THEN Auto) }

1
1. c : ℕ
2. ∀c:ℕc. ∀s:ℕc ⟶ ℕ.
     ∃N:ℕ+
      ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕc. ∃i:ℕc. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))
3. s : ℕc ⟶ ℕ
4. ¬(c = 0 ∈ ℤ)
5. ¬(c = 1 ∈ ℤ)
6. ¬(c = 2 ∈ ℤ)
7. N : ℕ+
8. ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2
     ∃i:ℕ2
      ∃f:ℕ[s 0; s 1][i] ⟶ ℕN
       (Inj(ℕ[s 0; s 1][i];ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕ[s 0; s 1][i].  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))
9. M : ℕ+
10. ∀g:ℕM ⟶ ℕM ⟶ ℕc - 1
      ∃i:ℕc - 1
       ∃f:ℕif (i =z 0) then N else s (i + 1) fi  ⟶ ℕM
        (Inj(ℕif (i =z 0) then N else s (i + 1) fi ;ℕM;f)
        ∧ (∀a,b:ℕif (i =z 0) then N else s (i + 1) fi .  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))
11. g : ℕM ⟶ ℕM ⟶ ℕc
⊢ ∃i:ℕc. ∃f:ℕs i ⟶ ℕM. (Inj(ℕs i;ℕM;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  c  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}c:\mBbbN{}c.  \mforall{}s:\mBbbN{}c  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.
          \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
            \mforall{}g:\mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}c
                \mexists{}i:\mBbbN{}c.  \mexists{}f:\mBbbN{}s  i  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N.  (Inj(\mBbbN{}s  i;\mBbbN{}N;f)  \mwedge{}  (\mforall{}a,b:\mBbbN{}s  i.    (f  a  <  f  b  {}\mRightarrow{}  ((g  (f  a)  (f  b))  =  i))))
3.  s  :  \mBbbN{}c  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  \mneg{}(c  =  0)
5.  \mneg{}(c  =  1)
6.  \mneg{}(c  =  2)
7.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  \mforall{}g:\mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}2
          \mexists{}i:\mBbbN{}2
            \mexists{}f:\mBbbN{}[s  0;  s  1][i]  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N
              (Inj(\mBbbN{}[s  0;  s  1][i];\mBbbN{}N;f)  \mwedge{}  (\mforall{}a,b:\mBbbN{}[s  0;  s  1][i].    (f  a  <  f  b  {}\mRightarrow{}  ((g  (f  a)  (f  b))  =  i))))
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
      \mforall{}g:\mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}c
          \mexists{}i:\mBbbN{}c.  \mexists{}f:\mBbbN{}s  i  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N.  (Inj(\mBbbN{}s  i;\mBbbN{}N;f)  \mwedge{}  (\mforall{}a,b:\mBbbN{}s  i.    (f  a  <  f  b  {}\mRightarrow{}  ((g  (f  a)  (f  b))  =  i))))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}c  -  1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  0)  then  N  else  s  (i  +  1)  fi  \mkleeneclose{}]  2\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  -1
  THEN  ExRepD
  THEN  RenameVar    `M'  (-2)
  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}M\mkleeneclose{} 
  THEN  Auto)

---

Home Index