---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma finite-quotient-bound

.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. m : ℕ
3. R : ℕn ⟶ ℕn ⟶ ℙ
4. EquivRel(ℕn;x,y.x R y)
5. x,y:ℕn//(x R y) ~ ℕm
6. ∀x,y:ℕn.  Dec(x R y)
⊢ ∃g:(x,y:ℕn//(x R y)) ⟶ ℕn. Inj(x,y:ℕn//(x R y);ℕn;g)
BY
{ Assert ⌜∀x:ℕn. ∃y:ℕn. ((x R y) ∧ (∀i:ℕy. (¬(x R i))))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. m : ℕ
3. R : ℕn ⟶ ℕn ⟶ ℙ
4. EquivRel(ℕn;x,y.x R y)
5. x,y:ℕn//(x R y) ~ ℕm
6. ∀x,y:ℕn.  Dec(x R y)
⊢ ∀x:ℕn. ∃y:ℕn. ((x R y) ∧ (∀i:ℕy. (¬(x R i))))

2
1. n : ℕ
2. m : ℕ
3. R : ℕn ⟶ ℕn ⟶ ℙ
4. EquivRel(ℕn;x,y.x R y)
5. x,y:ℕn//(x R y) ~ ℕm
6. ∀x,y:ℕn.  Dec(x R y)
7. ∀x:ℕn. ∃y:ℕn. ((x R y) ∧ (∀i:ℕy. (¬(x R i))))
⊢ ∃g:(x,y:ℕn//(x R y)) ⟶ ℕn. Inj(x,y:ℕn//(x R y);ℕn;g)

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  n  :  \mBbbN{}
2.  m  :  \mBbbN{}
3.  R  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  EquivRel(\mBbbN{}n;x,y.x  R  y)
5.  x,y:\mBbbN{}n//(x  R  y)  \msim{}  \mBbbN{}m
6.  \mforall{}x,y:\mBbbN{}n.    Dec(x  R  y)
\mvdash{}  \mexists{}g:(x,y:\mBbbN{}n//(x  R  y))  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n.  Inj(x,y:\mBbbN{}n//(x  R  y);\mBbbN{}n;g)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}x:\mBbbN{}n.  \mexists{}y:\mBbbN{}n.  ((x  R  y)  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}y.  (\mneg{}(x  R  i))))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index