---

Step * 1 1 1 1 1 2 1 of Lemma finite-quotient-bound


1. n : ℕ
2. m : ℕ
3. R : ℕn ⟶ ℕn ⟶ ℙ
4. EquivRel(ℕn;x,y.x R y)
5. x,y:ℕn//(x R y) ~ ℕm
6. ∀x,y:ℕn.  Dec(x R y)
7. g : (x,y:ℕn//(x R y)) ⟶ ℕn
8. Inj(x,y:ℕn//(x R y);ℕn;g)
9. f : ℕm ⟶ (x,y:ℕn//(x R y))
10. Inj(ℕm;x,y:ℕn//(x R y);f)
11. Surj(ℕm;x,y:ℕn//(x R y);f)
⊢ ∃f:ℕm ⟶ ℕn. Inj(ℕm;ℕn;f)
BY
{ (D 0 With ⌜g o f⌝  THEN Auto THEN BLemma `injection-composition` THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  m  :  \mBbbN{}
3.  R  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  EquivRel(\mBbbN{}n;x,y.x  R  y)
5.  x,y:\mBbbN{}n//(x  R  y)  \msim{}  \mBbbN{}m
6.  \mforall{}x,y:\mBbbN{}n.    Dec(x  R  y)
7.  g  :  (x,y:\mBbbN{}n//(x  R  y))  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n
8.  Inj(x,y:\mBbbN{}n//(x  R  y);\mBbbN{}n;g)
9.  f  :  \mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  (x,y:\mBbbN{}n//(x  R  y))
10.  Inj(\mBbbN{}m;x,y:\mBbbN{}n//(x  R  y);f)
11.  Surj(\mBbbN{}m;x,y:\mBbbN{}n//(x  R  y);f)
\mvdash{}  \mexists{}f:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n.  Inj(\mBbbN{}m;\mBbbN{}n;f)


By

---

Latex:
(D  0  With  \mkleeneopen{}g  o  f\mkleeneclose{}    THEN  Auto  THEN  BLemma  `injection-composition`  THEN  Auto)

---

Home Index