---

Step * 2 2 of Lemma Coquand-fan-theorem


1. [T] : Type
2. finite-type(T)
3. y : 0 = 0 ∈ ℤ
4. f : T ⟶ W(𝔹;a.if a then Void else T fi )
5. ∀b:T. ∀A:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ.
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((A n s) ⇒ (∀m:{n...}. ∀t:ℕm ⟶ T.  ((t = s ∈ (ℕn ⟶ T)) ⇒ (A m t)))))
     ⇒ (f b|A)
     ⇒ (∃N:ℕ. ∀m:{N...}. ∀as:ℕm ⟶ T.  (A m as)))
6. A : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
7. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((A n s) ⇒ (∀m:{n...}. ∀t:ℕm ⟶ T.  ((t = s ∈ (ℕn ⟶ T)) ⇒ (A m t))))
8. ∀x:T. (f x|A_x)
9. ∀x:T. ∃N:ℕ. ∀m:{N...}. ∀as:ℕm ⟶ T.  (A_x m as)
⊢ ∃N:ℕ. ∀m:{N...}. ∀as:ℕm ⟶ T.  (A m as)
BY
{ ((Skolemize (-1) `N' THEN Auto) THEN D 2 THEN All (Fold `wfd-tree`)) }

1
1. [T] : Type
2. n : ℕ
3. ∃f:ℕn ⟶ T. Surj(ℕn;T;f)
4. y : 0 = 0 ∈ ℤ
5. f : T ⟶ wfd-tree(T)
6. ∀b:T. ∀A:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ.
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((A n s) ⇒ (∀m:{n...}. ∀t:ℕm ⟶ T.  ((t = s ∈ (ℕn ⟶ T)) ⇒ (A m t)))))
     ⇒ (f b|A)
     ⇒ (∃N:ℕ. ∀m:{N...}. ∀as:ℕm ⟶ T.  (A m as)))
7. A : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
8. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((A n s) ⇒ (∀m:{n...}. ∀t:ℕm ⟶ T.  ((t = s ∈ (ℕn ⟶ T)) ⇒ (A m t))))
9. ∀x:T. (f x|A_x)
10. ∀x:T. ∃N:ℕ. ∀m:{N...}. ∀as:ℕm ⟶ T.  (A_x m as)
11. N : x:T ⟶ ℕ
12. ∀x:T. ∀m:{N x...}. ∀as:ℕm ⟶ T.  (A_x m as)
⊢ ∃N:ℕ. ∀m:{N...}. ∀as:ℕm ⟶ T.  (A m as)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  finite-type(T)
3.  y  :  0  =  0
4.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  W(\mBbbB{};a.if  a  then  Void  else  T  fi  )
5.  \mforall{}b:T.  \mforall{}A:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.
          ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    ((A  n  s)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\{n...\}.  \mforall{}t:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  T.    ((t  =  s)  {}\mRightarrow{}  (A  m  t)))))
          {}\mRightarrow{}  (f  b|A)
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}N:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\{N...\}.  \mforall{}as:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  T.    (A  m  as)))
6.  A  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    ((A  n  s)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\{n...\}.  \mforall{}t:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  T.    ((t  =  s)  {}\mRightarrow{}  (A  m  t))))
8.  \mforall{}x:T.  (f  x|A\_x)
9.  \mforall{}x:T.  \mexists{}N:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\{N...\}.  \mforall{}as:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  T.    (A\_x  m  as)
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\{N...\}.  \mforall{}as:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  T.    (A  m  as)


By

---

Latex:
((Skolemize  (-1)  `N'  THEN  Auto)  THEN  D  2  THEN  All  (Fold  `wfd-tree`))

---

Home Index