---

Step * 1 of Lemma div-search-lemma


1. a : ℤ
2. b : {a + 1...}
3. f : ℤ ⟶ 𝔹
4. [%] : ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))]
⊢ ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))]
BY
{ TACTIC:(RenameVar `aa' 1
          THEN RenameVar `bb' 2
          THEN InstLemma `divide-and-conquer` [⌜λ2a b.∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y)))
                                                                 ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))] 
                                                      supposing ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y)))
                                                                           ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))]⌝;⌜2⌝;⌜aa⌝;
          ⌜bb⌝]⋅
          THEN Auto) }

1
1. aa : ℤ
2. bb : {aa + 1...}
3. f : ℤ ⟶ 𝔹
4. [%] : ∃x:{aa..bb-} [((∀y:{aa..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..bb + 1-}. (↑(f z))))]
5. a : ℤ
6. b : {a..a + 2-}
7. [%1] : ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))]
⊢ ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))]

2
1. aa : ℤ
2. bb : {aa + 1...}
3. f : ℤ ⟶ 𝔹
4. [%] : ∃x:{aa..bb-} [((∀y:{aa..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..bb + 1-}. (↑(f z))))]
5. a : ℤ
6. b : ℤ
7. c : ℤ
8. a < c
9. c < b
⊢ (∃x:{a..c-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..c + 1-}. (↑(f z))))] 
   supposing ∃x:{a..c-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..c + 1-}. (↑(f z))))]
⇒ ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))] 
   supposing ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))])
∨ (∃x:{c..b-} [((∀y:{c..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))] 
   supposing ∃x:{c..b-} [((∀y:{c..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))]
  ⇒ ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))] 
     supposing ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))])

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbZ{}
2.  b  :  \{a  +  1...\}
3.  f  :  \mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  [\%]  :  \mexists{}x:\{a..b\msupminus{}\}  [((\mforall{}y:\{a..x  +  1\msupminus{}\}.  (\mneg{}\muparrow{}(f  y)))  \mwedge{}  (\mforall{}z:\{x  +  1..b  +  1\msupminus{}\}.  (\muparrow{}(f  z))))]
\mvdash{}  \mexists{}x:\{a..b\msupminus{}\}  [((\mforall{}y:\{a..x  +  1\msupminus{}\}.  (\mneg{}\muparrow{}(f  y)))  \mwedge{}  (\mforall{}z:\{x  +  1..b  +  1\msupminus{}\}.  (\muparrow{}(f  z))))]


By

---

Latex:
TACTIC:(RenameVar  `aa'  1
                THEN  RenameVar  `bb'  2
                THEN  InstLemma  `divide-and-conquer`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}a  b.\mexists{}x:\{a..b\msupminus{}\}  [((\mforall{}y:\{a..x  +  1\msupminus{}\}.  (\mneg{}\muparrow{}(f  y)))
                                                                                                                              \mwedge{}  (\mforall{}z:\{x  +  1..b  +  1\msupminus{}\}.  (\muparrow{}(f  z))))] 
                                                                                                        supposing  \mexists{}x:\{a..b\msupminus{}\}  [((\mforall{}y:\{a..x  +  1\msupminus{}\}
                                                                                                                                                            (\mneg{}\muparrow{}(f  y)))
                                                                                                                                                  \mwedge{}  (\mforall{}z:\{x  +  1..b  +  1\msupminus{}\}
                                                                                                                                                            (\muparrow{}(f  z))))]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}aa\mkleeneclose{};
                \mkleeneopen{}bb\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                THEN  Auto)

---

Home Index