---

Step * 1 2 of Lemma div-search-lemma


1. aa : ℤ
2. bb : {aa + 1...}
3. f : ℤ ⟶ 𝔹
4. [%] : ∃x:{aa..bb-} [((∀y:{aa..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..bb + 1-}. (↑(f z))))]
5. a : ℤ
6. b : ℤ
7. c : ℤ
8. a < c
9. c < b
⊢ (∃x:{a..c-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..c + 1-}. (↑(f z))))] 
   supposing ∃x:{a..c-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..c + 1-}. (↑(f z))))]
⇒ ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))] 
   supposing ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))])
∨ (∃x:{c..b-} [((∀y:{c..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))] 
   supposing ∃x:{c..b-} [((∀y:{c..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))]
  ⇒ ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))] 
     supposing ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))])
BY
{ TACTIC:(Decide ⌜↑(f c)⌝⋅ THENA Auto) }

1
1. aa : ℤ
2. bb : {aa + 1...}
3. f : ℤ ⟶ 𝔹
4. [%] : ∃x:{aa..bb-} [((∀y:{aa..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..bb + 1-}. (↑(f z))))]
5. a : ℤ
6. b : ℤ
7. c : ℤ
8. a < c
9. c < b
10. ↑(f c)
⊢ (∃x:{a..c-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..c + 1-}. (↑(f z))))] 
   supposing ∃x:{a..c-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..c + 1-}. (↑(f z))))]
⇒ ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))] 
   supposing ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))])
∨ (∃x:{c..b-} [((∀y:{c..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))] 
   supposing ∃x:{c..b-} [((∀y:{c..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))]
  ⇒ ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))] 
     supposing ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))])

2
1. aa : ℤ
2. bb : {aa + 1...}
3. f : ℤ ⟶ 𝔹
4. [%] : ∃x:{aa..bb-} [((∀y:{aa..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..bb + 1-}. (↑(f z))))]
5. a : ℤ
6. b : ℤ
7. c : ℤ
8. a < c
9. c < b
10. ¬↑(f c)
⊢ (∃x:{a..c-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..c + 1-}. (↑(f z))))] 
   supposing ∃x:{a..c-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..c + 1-}. (↑(f z))))]
⇒ ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))] 
   supposing ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))])
∨ (∃x:{c..b-} [((∀y:{c..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))] 
   supposing ∃x:{c..b-} [((∀y:{c..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))]
  ⇒ ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))] 
     supposing ∃x:{a..b-} [((∀y:{a..x + 1-}. (¬↑(f y))) ∧ (∀z:{x + 1..b + 1-}. (↑(f z))))])

---

Latex:

---

Latex:

1.  aa  :  \mBbbZ{}
2.  bb  :  \{aa  +  1...\}
3.  f  :  \mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  [\%]  :  \mexists{}x:\{aa..bb\msupminus{}\}  [((\mforall{}y:\{aa..x  +  1\msupminus{}\}.  (\mneg{}\muparrow{}(f  y)))  \mwedge{}  (\mforall{}z:\{x  +  1..bb  +  1\msupminus{}\}.  (\muparrow{}(f  z))))]
5.  a  :  \mBbbZ{}
6.  b  :  \mBbbZ{}
7.  c  :  \mBbbZ{}
8.  a  <  c
9.  c  <  b
\mvdash{}  (\mexists{}x:\{a..c\msupminus{}\}  [((\mforall{}y:\{a..x  +  1\msupminus{}\}.  (\mneg{}\muparrow{}(f  y)))  \mwedge{}  (\mforall{}z:\{x  +  1..c  +  1\msupminus{}\}.  (\muparrow{}(f  z))))] 
      supposing  \mexists{}x:\{a..c\msupminus{}\}  [((\mforall{}y:\{a..x  +  1\msupminus{}\}.  (\mneg{}\muparrow{}(f  y)))  \mwedge{}  (\mforall{}z:\{x  +  1..c  +  1\msupminus{}\}.  (\muparrow{}(f  z))))]
{}\mRightarrow{}  \mexists{}x:\{a..b\msupminus{}\}  [((\mforall{}y:\{a..x  +  1\msupminus{}\}.  (\mneg{}\muparrow{}(f  y)))  \mwedge{}  (\mforall{}z:\{x  +  1..b  +  1\msupminus{}\}.  (\muparrow{}(f  z))))] 
      supposing  \mexists{}x:\{a..b\msupminus{}\}  [((\mforall{}y:\{a..x  +  1\msupminus{}\}.  (\mneg{}\muparrow{}(f  y)))  \mwedge{}  (\mforall{}z:\{x  +  1..b  +  1\msupminus{}\}.  (\muparrow{}(f  z))))])
\mvee{}  (\mexists{}x:\{c..b\msupminus{}\}  [((\mforall{}y:\{c..x  +  1\msupminus{}\}.  (\mneg{}\muparrow{}(f  y)))  \mwedge{}  (\mforall{}z:\{x  +  1..b  +  1\msupminus{}\}.  (\muparrow{}(f  z))))] 
      supposing  \mexists{}x:\{c..b\msupminus{}\}  [((\mforall{}y:\{c..x  +  1\msupminus{}\}.  (\mneg{}\muparrow{}(f  y)))  \mwedge{}  (\mforall{}z:\{x  +  1..b  +  1\msupminus{}\}.  (\muparrow{}(f  z))))]
    {}\mRightarrow{}  \mexists{}x:\{a..b\msupminus{}\}  [((\mforall{}y:\{a..x  +  1\msupminus{}\}.  (\mneg{}\muparrow{}(f  y)))  \mwedge{}  (\mforall{}z:\{x  +  1..b  +  1\msupminus{}\}.  (\muparrow{}(f  z))))] 
          supposing  \mexists{}x:\{a..b\msupminus{}\}  [((\mforall{}y:\{a..x  +  1\msupminus{}\}.  (\mneg{}\muparrow{}(f  y)))  \mwedge{}  (\mforall{}z:\{x  +  1..b  +  1\msupminus{}\}.  (\muparrow{}(f  z))))])


By

---

Latex:
TACTIC:(Decide  \mkleeneopen{}\muparrow{}(f  c)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index