---

Step * 1 of Lemma rounding-div-property


1. a : ℤ
2. n : ℕ+
3. q : ℤ
4. (a ÷ n) = q ∈ ℤ
5. r : ℤ
6. (a rem n) = r ∈ ℤ
7. -n < r ∧ r < n
8. a = ((q * n) + r) ∈ ℤ
⊢ (2 * |(n * if (2 * r) < (n)  then if (-n) < (2 * r)  then q  else (q - 1)  else (q + 1)) - (q * n) + r|) ≤ n
BY
{ ((Decide ⌜2 * r < n⌝⋅ THENA Auto) THEN (Reduce 0 THENA Auto)) }

1
1. a : ℤ
2. n : ℕ+
3. q : ℤ
4. (a ÷ n) = q ∈ ℤ
5. r : ℤ
6. (a rem n) = r ∈ ℤ
7. -n < r ∧ r < n
8. a = ((q * n) + r) ∈ ℤ
9. 2 * r < n
⊢ (2 * |(n * if (-n) < (2 * r)  then q  else (q - 1)) - (q * n) + r|) ≤ n

2
1. a : ℤ
2. n : ℕ+
3. q : ℤ
4. (a ÷ n) = q ∈ ℤ
5. r : ℤ
6. (a rem n) = r ∈ ℤ
7. -n < r ∧ r < n
8. a = ((q * n) + r) ∈ ℤ
9. ¬2 * r < n
⊢ (2 * |(n * (q + 1)) - (q * n) + r|) ≤ n

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbZ{}
2.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  q  :  \mBbbZ{}
4.  (a  \mdiv{}  n)  =  q
5.  r  :  \mBbbZ{}
6.  (a  rem  n)  =  r
7.  -n  <  r  \mwedge{}  r  <  n
8.  a  =  ((q  *  n)  +  r)
\mvdash{}  (2
    *  |(n  *  if  (2  *  r)  <  (n)    then  if  (-n)  <  (2  *  r)    then  q    else  (q  -  1)    else  (q  +  1))  -  (q  *  n)
        +  r|)  \mleq{}  n


By

---

Latex:
((Decide  \mkleeneopen{}2  *  r  <  n\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  (Reduce  0  THENA  Auto))

---

Home Index