---

Step * 1 1 2 1 1 of Lemma mul-polynom-int-val

.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. u : ℤ
3. v : ℤ List
4. ||[u / v]|| = n ∈ ℤ
5. p : polyform(n - 1) List
6. q : polyform(n - 1) List
7. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
8. ||v|| = (n - 1) ∈ ℤ
9. ∀[p,q:polyform(n - 1)].  (v@mul-polynom(n - 1;p;q) = (v@p * v@q) ∈ ℤ)
⊢ ∀r:polyform(n)
    ([u / v]@eager-accum(z,a.add-polynom(n;tt;if null(z) then [] else z @ [polyconst(n - 1;0)] fi ;if poly-zero(n - 1;a)
    then []
    else map(λx.mul-polynom(n - 1;a;x);q)
    fi );r;p)
    = (([u / v]@p * [u / v]@q) + ([u / v]@r * u^||p||))
    ∈ ℤ)
BY
{ (ListInd (-5) THEN (D 0 THENA Auto) THEN RecUnfold `eager-accum` 0 THEN Reduce 0) }

1
1. n : ℕ
2. u : ℤ
3. v : ℤ List
4. ||[u / v]|| = n ∈ ℤ
5. q : polyform(n - 1) List
6. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
7. ||v|| = (n - 1) ∈ ℤ
8. ∀[p,q:polyform(n - 1)].  (v@mul-polynom(n - 1;p;q) = (v@p * v@q) ∈ ℤ)
9. r : polyform(n)
⊢ [u / v]@r = (([u / v]@[] * [u / v]@q) + ([u / v]@r * 1)) ∈ ℤ

2
1. n : ℕ
2. u : ℤ
3. v : ℤ List
4. ||[u / v]|| = n ∈ ℤ
5. q : polyform(n - 1) List
6. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
7. ||v|| = (n - 1) ∈ ℤ
8. ∀[p,q:polyform(n - 1)].  (v@mul-polynom(n - 1;p;q) = (v@p * v@q) ∈ ℤ)
9. u1 : polyform(n - 1)
10. v1 : polyform(n - 1) List
11. ∀r:polyform(n)
      ([u / v]@eager-accum(z,a.add-polynom(n;tt;if null(z)
      then []
      else z @ [polyconst(n - 1;0)]
      fi ;if poly-zero(n - 1;a) then [] else map(λx.mul-polynom(n - 1;a;x);q) fi );r;v1)
      = (([u / v]@v1 * [u / v]@q) + ([u / v]@r * u^||v1||))
      ∈ ℤ)
12. r : polyform(n)
⊢ [u / v]@let z ⟵ add-polynom(n;tt;if null(r) then [] else r @ [polyconst(n - 1;0)] fi ;if poly-zero(n - 1;u1)
          then []
          else map(λx.mul-polynom(n - 1;u1;x);q)
          fi )
          in eager-accum(z,a.add-polynom(n;tt;if null(z) then [] else z @ [polyconst(n - 1;0)] fi ;if poly-zero(n - 1;a)
          then []
          else map(λx.mul-polynom(n - 1;a;x);q)
          fi );z;v1)
= (([u / v]@[u1 / v1] * [u / v]@q) + ([u / v]@r * u^(||v1|| + 1)))
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  n  :  \mBbbN{}
2.  u  :  \mBbbZ{}
3.  v  :  \mBbbZ{}  List
4.  ||[u  /  v]||  =  n
5.  p  :  polyform(n  -  1)  List
6.  q  :  polyform(n  -  1)  List
7.  \mneg{}(n  =  0)
8.  ||v||  =  (n  -  1)
9.  \mforall{}[p,q:polyform(n  -  1)].    (v@mul-polynom(n  -  1;p;q)  =  (v@p  *  v@q))
\mvdash{}  \mforall{}r:polyform(n)
        ([u  /  v]@eager-accum(z,a.add-polynom(n;tt;if  null(z)
        then  []
        else  z  @  [polyconst(n  -  1;0)]
        fi  ;if  poly-zero(n  -  1;a)  then  []  else  map(\mlambda{}x.mul-polynom(n  -  1;a;x);q)  fi  );r;p)
        =  (([u  /  v]@p  *  [u  /  v]@q)  +  ([u  /  v]@r  *  u\^{}||p||)))


By

---

Latex:
(ListInd  (-5)  THEN  (D  0  THENA  Auto)  THEN  RecUnfold  `eager-accum`  0  THEN  Reduce  0)

---

Home Index