---

Step * 2 1 of Lemma comparison-seq_wf


1. T : Type
2. c1 : T ⟶ T ⟶ ℤ
3. (∀x,y:T.  ((c1 x y) = (-(c1 y x)) ∈ ℤ))
∧ (∀x,y:T.  (((c1 x y) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (∀z:T. ((c1 x z) = (c1 y z) ∈ ℤ))))
∧ (∀x,y,z:T.  ((0 ≤ (c1 x y)) ⇒ (0 ≤ (c1 y z)) ⇒ (0 ≤ (c1 x z))))
4. c2 : ⋂a:T. comparison({b:T| (c1 a b) = 0 ∈ ℤ} )
5. x : T
6. y : T
7. (c1 x y) = 0 ∈ ℤ
⊢ ((c2 x y) = 0 ∈ ℤ)
⇒ (∀z:T
      (eval answer1 = c1 x z in
       if answer1=0 then c2 x z else answer1
      = eval answer1 = c1 y z in
        if answer1=0 then c2 y z else answer1
      ∈ ℤ))
BY
{ (SplitAndHyps
   THEN (Assert (c1 x x) = 0 ∈ ℤ BY
               (InstHyp [⌜x⌝;⌜x⌝] 3⋅ THEN Auto'))
   THEN GenConcl ⌜c2 = C ∈ comparison({b:T| (c1 x b) = 0 ∈ ℤ} )⌝⋅
   THEN Auto
   THEN (CallByValueReduce 0 THENA Auto)
   THEN Repeat (AutoSplit)
   THEN InstHyp [⌜x⌝;⌜y⌝;⌜z⌝] 4⋅
   THEN Auto') }

1
1. T : Type
2. c1 : T ⟶ T ⟶ ℤ
3. ∀x,y:T.  ((c1 x y) = (-(c1 y x)) ∈ ℤ)
4. ∀x,y:T.  (((c1 x y) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (∀z:T. ((c1 x z) = (c1 y z) ∈ ℤ)))
5. ∀x,y,z:T.  ((0 ≤ (c1 x y)) ⇒ (0 ≤ (c1 y z)) ⇒ (0 ≤ (c1 x z)))
6. c2 : ⋂a:T. comparison({b:T| (c1 a b) = 0 ∈ ℤ} )
7. x : T
8. y : T
9. (c1 x y) = 0 ∈ ℤ
10. (c1 x x) = 0 ∈ ℤ
11. C : comparison({b:T| (c1 x b) = 0 ∈ ℤ} )
12. c2 = C ∈ comparison({b:T| (c1 x b) = 0 ∈ ℤ} )
13. (C x y) = 0 ∈ ℤ
14. z : T
15. (c1 x z) = 0 ∈ ℤ
16. (c1 y z) = 0 ∈ ℤ
17. (c1 x z) = (c1 y z) ∈ ℤ
⊢ (C x z) = (C y z) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  c1  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  (\mforall{}x,y:T.    ((c1  x  y)  =  (-(c1  y  x))))
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:T.    (((c1  x  y)  =  0)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}z:T.  ((c1  x  z)  =  (c1  y  z)))))
\mwedge{}  (\mforall{}x,y,z:T.    ((0  \mleq{}  (c1  x  y))  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  (c1  y  z))  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  (c1  x  z))))
4.  c2  :  \mcap{}a:T.  comparison(\{b:T|  (c1  a  b)  =  0\}  )
5.  x  :  T
6.  y  :  T
7.  (c1  x  y)  =  0
\mvdash{}  ((c2  x  y)  =  0)
{}\mRightarrow{}  (\mforall{}z:T
            (eval  answer1  =  c1  x  z  in
              if  answer1=0  then  c2  x  z  else  answer1
            =  eval  answer1  =  c1  y  z  in
                if  answer1=0  then  c2  y  z  else  answer1))


By

---

Latex:
(SplitAndHyps
  THEN  (Assert  (c1  x  x)  =  0  BY
                          (InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]  3\mcdot{}  THEN  Auto'))
  THEN  GenConcl  \mkleeneopen{}c2  =  C\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (CallByValueReduce  0  THENA  Auto)
  THEN  Repeat  (AutoSplit)
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}]  4\mcdot{}
  THEN  Auto')

---

Home Index