---

Step * 1 of Lemma finite-injection


1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. n : ℕ
4. s : ℕn ⟶ T
5. Surj(ℕn;T;s)
6. f : T ⟶ T
7. Inj(T;T;f)
8. x : T
9. g : T ⟶ ℕn
10. ∀x:T. ((s (g x)) = x ∈ T)
⊢ ∃m:ℕ+n + 1. ((f^m x) = x ∈ T)
BY
{ (SupposeNot THEN Assert ⌜Inj(ℕn + 1;ℕn;λm.(g (f^m x)))⌝⋅)⋅ }

1
.....assertion..... 
1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. n : ℕ
4. s : ℕn ⟶ T
5. Surj(ℕn;T;s)
6. f : T ⟶ T
7. Inj(T;T;f)
8. x : T
9. g : T ⟶ ℕn
10. ∀x:T. ((s (g x)) = x ∈ T)
11. ¬(∃m:ℕ+n + 1. ((f^m x) = x ∈ T))
⊢ Inj(ℕn + 1;ℕn;λm.(g (f^m x)))

2
1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. n : ℕ
4. s : ℕn ⟶ T
5. Surj(ℕn;T;s)
6. f : T ⟶ T
7. Inj(T;T;f)
8. x : T
9. g : T ⟶ ℕn
10. ∀x:T. ((s (g x)) = x ∈ T)
11. ¬(∃m:ℕ+n + 1. ((f^m x) = x ∈ T))
12. Inj(ℕn + 1;ℕn;λm.(g (f^m x)))
⊢ ∃m:ℕ+n + 1. ((f^m x) = x ∈ T)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  =  y)
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T
5.  Surj(\mBbbN{}n;T;s)
6.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
7.  Inj(T;T;f)
8.  x  :  T
9.  g  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n
10.  \mforall{}x:T.  ((s  (g  x))  =  x)
\mvdash{}  \mexists{}m:\mBbbN{}\msupplus{}n  +  1.  ((f\^{}m  x)  =  x)


By

---

Latex:
(SupposeNot  THEN  Assert  \mkleeneopen{}Inj(\mBbbN{}n  +  1;\mBbbN{}n;\mlambda{}m.(g  (f\^{}m  x)))\mkleeneclose{}\mcdot{})\mcdot{}

---

Home Index