---

Step * 2 3 of Lemma finite-partition


1. n : ℤ
2. [%1] : 0 < n
3. k : ℕ
4. c : ℕn ⟶ ℕk
5. p : ℕk ⟶ (ℕ List)
6. Σ(||p j|| | j < k) = (n - 1) ∈ ℤ
7. ∀j:ℕk. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y
8. ∀j:ℕk. ∀x:ℕ||p j||.  (p j[x] < n - 1 c∧ ((c p j[x]) = j ∈ ℤ))
⊢ ∀j:ℕk. ∀x:ℕ||if (c (n - 1) =z j) then [n - 1 / (p j)] else p j fi ||.
    (if (c (n - 1) =z j) then [n - 1 / (p j)] else p j fi [x] < n
    c∧ ((c if (c (n - 1) =z j) then [n - 1 / (p j)] else p j fi [x]) = j ∈ ℤ))
BY
{ TACTIC:(((ParallelOp (-1) THENA Auto) THEN SplitOnConclITE) THENA Auto) }

1
.....truecase..... 
1. n : ℤ
2. [%1] : 0 < n
3. k : ℕ
4. c : ℕn ⟶ ℕk
5. p : ℕk ⟶ (ℕ List)
6. Σ(||p j|| | j < k) = (n - 1) ∈ ℤ
7. ∀j:ℕk. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y
8. ∀j:ℕk. ∀x:ℕ||p j||.  (p j[x] < n - 1 c∧ ((c p j[x]) = j ∈ ℤ))
9. j : ℕk
10. ∀x:ℕ||p j||. (p j[x] < n - 1 c∧ ((c p j[x]) = j ∈ ℤ))
11. (c (n - 1)) = j ∈ ℤ
⊢ ∀x@0:ℕ||[n - 1 / (p j)]||. ([n - 1 / (p j)][x@0] < n c∧ ((c [n - 1 / (p j)][x@0]) = j ∈ ℤ))

2
.....falsecase..... 
1. n : ℤ
2. [%1] : 0 < n
3. k : ℕ
4. c : ℕn ⟶ ℕk
5. p : ℕk ⟶ (ℕ List)
6. Σ(||p j|| | j < k) = (n - 1) ∈ ℤ
7. ∀j:ℕk. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y
8. ∀j:ℕk. ∀x:ℕ||p j||.  (p j[x] < n - 1 c∧ ((c p j[x]) = j ∈ ℤ))
9. j : ℕk
10. ∀x:ℕ||p j||. (p j[x] < n - 1 c∧ ((c p j[x]) = j ∈ ℤ))
11. ¬((c (n - 1)) = j ∈ ℤ)
⊢ ∀x:ℕ||p j||. (p j[x] < n c∧ ((c p j[x]) = j ∈ ℤ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbZ{}
2.  [\%1]  :  0  <  n
3.  k  :  \mBbbN{}
4.  c  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}k
5.  p  :  \mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}  List)
6.  \mSigma{}(||p  j||  |  j  <  k)  =  (n  -  1)
7.  \mforall{}j:\mBbbN{}k.  \mforall{}x,y:\mBbbN{}||p  j||.    p  j[x]  >  p  j[y]  supposing  x  <  y
8.  \mforall{}j:\mBbbN{}k.  \mforall{}x:\mBbbN{}||p  j||.    (p  j[x]  <  n  -  1  c\mwedge{}  ((c  p  j[x])  =  j))
\mvdash{}  \mforall{}j:\mBbbN{}k.  \mforall{}x:\mBbbN{}||if  (c  (n  -  1)  =\msubz{}  j)  then  [n  -  1  /  (p  j)]  else  p  j  fi  ||.
        (if  (c  (n  -  1)  =\msubz{}  j)  then  [n  -  1  /  (p  j)]  else  p  j  fi  [x]  <  n
        c\mwedge{}  ((c  if  (c  (n  -  1)  =\msubz{}  j)  then  [n  -  1  /  (p  j)]  else  p  j  fi  [x])  =  j))


By

---

Latex:
TACTIC:(((ParallelOp  (-1)  THENA  Auto)  THEN  SplitOnConclITE)  THENA  Auto)

---

Home Index