---

Step * 2 of Lemma finite-partition

.....upcase..... 
1. n : ℤ
2. [%1] : 0 < n
3. ∀k:ℕ. ∀c:ℕn - 1 ⟶ ℕk.
     ∃p:ℕk ⟶ (ℕ List)
      ((Σ(||p j|| | j < k) = (n - 1) ∈ ℤ)
      ∧ (∀j:ℕk. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y)
      ∧ (∀j:ℕk. ∀x:ℕ||p j||.  (p j[x] < n - 1 c∧ ((c p j[x]) = j ∈ ℤ))))
⊢ ∀k:ℕ. ∀c:ℕn ⟶ ℕk.
    ∃p:ℕk ⟶ (ℕ List)
     ((Σ(||p j|| | j < k) = n ∈ ℤ)
     ∧ (∀j:ℕk. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y)
     ∧ (∀j:ℕk. ∀x:ℕ||p j||.  (p j[x] < n c∧ ((c p j[x]) = j ∈ ℤ))))
BY
{ (RepeatFor 2 (ParallelLast')
   THEN ExRepD
   THEN (InstConcl [⌜λj.if (c (n - 1) =z j) then [n - 1 / (p j)] else p j fi ⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN SplitAndConcl) }

1
1. n : ℤ
2. 0 < n
3. k : ℕ
4. c : ℕn ⟶ ℕk
5. p : ℕk ⟶ (ℕ List)
6. Σ(||p j|| | j < k) = (n - 1) ∈ ℤ
7. ∀j:ℕk. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y
8. ∀j:ℕk. ∀x:ℕ||p j||.  (p j[x] < n - 1 c∧ ((c p j[x]) = j ∈ ℤ))
⊢ Σ(||if (c (n - 1) =z j) then [n - 1 / (p j)] else p j fi || | j < k) = n ∈ ℤ

2
1. n : ℤ
2. [%1] : 0 < n
3. k : ℕ
4. c : ℕn ⟶ ℕk
5. p : ℕk ⟶ (ℕ List)
6. Σ(||p j|| | j < k) = (n - 1) ∈ ℤ
7. ∀j:ℕk. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y
8. ∀j:ℕk. ∀x:ℕ||p j||.  (p j[x] < n - 1 c∧ ((c p j[x]) = j ∈ ℤ))
⊢ ∀j:ℕk. ∀x,y:ℕ||if (c (n - 1) =z j) then [n - 1 / (p j)] else p j fi ||.
    if (c (n - 1) =z j) then [n - 1 / (p j)] else p j fi [x] > if (c (n - 1) =z j) then [n - 1 / (p j)] else p j fi [y] 
    supposing x < y

3
1. n : ℤ
2. [%1] : 0 < n
3. k : ℕ
4. c : ℕn ⟶ ℕk
5. p : ℕk ⟶ (ℕ List)
6. Σ(||p j|| | j < k) = (n - 1) ∈ ℤ
7. ∀j:ℕk. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y
8. ∀j:ℕk. ∀x:ℕ||p j||.  (p j[x] < n - 1 c∧ ((c p j[x]) = j ∈ ℤ))
⊢ ∀j:ℕk. ∀x:ℕ||if (c (n - 1) =z j) then [n - 1 / (p j)] else p j fi ||.
    (if (c (n - 1) =z j) then [n - 1 / (p j)] else p j fi [x] < n
    c∧ ((c if (c (n - 1) =z j) then [n - 1 / (p j)] else p j fi [x]) = j ∈ ℤ))

---

Latex:

---

Latex:
.....upcase..... 
1.  n  :  \mBbbZ{}
2.  [\%1]  :  0  <  n
3.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}c:\mBbbN{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}k.
          \mexists{}p:\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}  List)
            ((\mSigma{}(||p  j||  |  j  <  k)  =  (n  -  1))
            \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}k.  \mforall{}x,y:\mBbbN{}||p  j||.    p  j[x]  >  p  j[y]  supposing  x  <  y)
            \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}k.  \mforall{}x:\mBbbN{}||p  j||.    (p  j[x]  <  n  -  1  c\mwedge{}  ((c  p  j[x])  =  j))))
\mvdash{}  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}c:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}k.
        \mexists{}p:\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}  List)
          ((\mSigma{}(||p  j||  |  j  <  k)  =  n)
          \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}k.  \mforall{}x,y:\mBbbN{}||p  j||.    p  j[x]  >  p  j[y]  supposing  x  <  y)
          \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}k.  \mforall{}x:\mBbbN{}||p  j||.    (p  j[x]  <  n  c\mwedge{}  ((c  p  j[x])  =  j))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (ParallelLast')
  THEN  ExRepD
  THEN  (InstConcl  [\mkleeneopen{}\mlambda{}j.if  (c  (n  -  1)  =\msubz{}  j)  then  [n  -  1  /  (p  j)]  else  p  j  fi  \mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  SplitAndConcl)

---

Home Index