---

Step * 2 1 of Lemma finite-partition


1. n : ℤ
2. 0 < n
3. k : ℕ
4. c : ℕn ⟶ ℕk
5. p : ℕk ⟶ (ℕ List)
6. Σ(||p j|| | j < k) = (n - 1) ∈ ℤ
7. ∀j:ℕk. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y
8. ∀j:ℕk. ∀x:ℕ||p j||.  (p j[x] < n - 1 c∧ ((c p j[x]) = j ∈ ℤ))
⊢ Σ(||if (c (n - 1) =z j) then [n - 1 / (p j)] else p j fi || | j < k) = n ∈ ℤ
BY
{ TACTIC:(Reduce 0
          THEN Subst' ⌜Σ(||if (c (n - 1) =z j) then [n - 1 / (p j)] else p j fi || | j < k)
                       = Σ(if (c (n - 1) =z j) then ||[n - 1 / (p j)]|| else ||p j|| fi  | j < k)
                       ∈ ℤ⌝ 0
          ) }

1
.....equality..... 
1. n : ℤ
2. 0 < n
3. k : ℕ
4. c : ℕn ⟶ ℕk
5. p : ℕk ⟶ (ℕ List)
6. Σ(||p j|| | j < k) = (n - 1) ∈ ℤ
7. ∀j:ℕk. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y
8. ∀j:ℕk. ∀x:ℕ||p j||.  (p j[x] < n - 1 c∧ ((c p j[x]) = j ∈ ℤ))
⊢ Σ(||if (c (n - 1) =z j) then [n - 1 / (p j)] else p j fi || | j < k)
= Σ(if (c (n - 1) =z j) then ||[n - 1 / (p j)]|| else ||p j|| fi  | j < k)
∈ ℤ

2
1. n : ℤ
2. 0 < n
3. k : ℕ
4. c : ℕn ⟶ ℕk
5. p : ℕk ⟶ (ℕ List)
6. Σ(||p j|| | j < k) = (n - 1) ∈ ℤ
7. ∀j:ℕk. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y
8. ∀j:ℕk. ∀x:ℕ||p j||.  (p j[x] < n - 1 c∧ ((c p j[x]) = j ∈ ℤ))
⊢ Σ(if (c (n - 1) =z j) then ||[n - 1 / (p j)]|| else ||p j|| fi  | j < k) = n ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbZ{}
2.  0  <  n
3.  k  :  \mBbbN{}
4.  c  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}k
5.  p  :  \mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}  List)
6.  \mSigma{}(||p  j||  |  j  <  k)  =  (n  -  1)
7.  \mforall{}j:\mBbbN{}k.  \mforall{}x,y:\mBbbN{}||p  j||.    p  j[x]  >  p  j[y]  supposing  x  <  y
8.  \mforall{}j:\mBbbN{}k.  \mforall{}x:\mBbbN{}||p  j||.    (p  j[x]  <  n  -  1  c\mwedge{}  ((c  p  j[x])  =  j))
\mvdash{}  \mSigma{}(||if  (c  (n  -  1)  =\msubz{}  j)  then  [n  -  1  /  (p  j)]  else  p  j  fi  ||  |  j  <  k)  =  n


By

---

Latex:
TACTIC:(Reduce  0
                THEN  Subst'  \mkleeneopen{}\mSigma{}(||if  (c  (n  -  1)  =\msubz{}  j)  then  [n  -  1  /  (p  j)]  else  p  j  fi  ||  |  j  <  k)
                                          =  \mSigma{}(if  (c  (n  -  1)  =\msubz{}  j)  then  ||[n  -  1  /  (p  j)]||  else  ||p  j||  fi    |  j  <  k)\mkleeneclose{}  0
                )

---

Home Index