---

Step * 3 1 of Lemma first-success-is-inl


1. T : Type
2. A : T ⟶ Type
3. f : x:T ⟶ (A[x]?)
4. u : T
5. v : T List
6. y : Unit
7. (f u) = (inr y ) ∈ (A[u]?)
8. i : ℕ||v||
9. x1 : A[v[i]]
10. first-success(f;v) = (inl <i, x1>) ∈ (i:ℕ||v|| × A[v[i]]?)
11. ∀[j:ℕ||v||]. ∀[a:A[v[j]]].
      ((inl <i, x1>) = (inl <j, a>) ∈ (i:ℕ||v|| × A[v[i]]?)
      ⇐⇒ j < ||v|| ∧ ((f v[j]) = (inl a) ∈ (A[v[j]]?)) ∧ (∀x∈firstn(j;v).↑isr(f x)))
12. j : ℕ||v|| + 1
13. a : A[[u / v][j]]
⊢ (inl <i + 1, x1>) = (inl <j, a>) ∈ (i:ℕ||v|| + 1 × A[[u / v][i]]?)
⇐⇒ j < ||v|| + 1 ∧ ((f [u / v][j]) = (inl a) ∈ (A[[u / v][j]]?)) ∧ (∀x∈firstn(j;[u / v]).↑isr(f x))
BY
{ TACTIC:(RecUnfold `firstn` 0 THEN Reduce 0 THEN AutoSplit) }

1
1. T : Type
2. A : T ⟶ Type
3. f : x:T ⟶ (A[x]?)
4. u : T
5. v : T List
6. y : Unit
7. (f u) = (inr y ) ∈ (A[u]?)
8. i : ℕ||v||
9. x1 : A[v[i]]
10. first-success(f;v) = (inl <i, x1>) ∈ (i:ℕ||v|| × A[v[i]]?)
11. ∀[j:ℕ||v||]. ∀[a:A[v[j]]].
      ((inl <i, x1>) = (inl <j, a>) ∈ (i:ℕ||v|| × A[v[i]]?)
      ⇐⇒ j < ||v|| ∧ ((f v[j]) = (inl a) ∈ (A[v[j]]?)) ∧ (∀x∈firstn(j;v).↑isr(f x)))
12. j : ℕ||v|| + 1
13. a : A[[u / v][j]]
14. 0 < j
⊢ (inl <i + 1, x1>) = (inl <j, a>) ∈ (i:ℕ||v|| + 1 × A[[u / v][i]]?)
⇐⇒ j < ||v|| + 1 ∧ ((f [u / v][j]) = (inl a) ∈ (A[[u / v][j]]?)) ∧ (∀x∈[u / firstn(j - 1;v)].↑isr(f x))

2
1. T : Type
2. A : T ⟶ Type
3. f : x:T ⟶ (A[x]?)
4. u : T
5. v : T List
6. y : Unit
7. (f u) = (inr y ) ∈ (A[u]?)
8. i : ℕ||v||
9. x1 : A[v[i]]
10. first-success(f;v) = (inl <i, x1>) ∈ (i:ℕ||v|| × A[v[i]]?)
11. ∀[j:ℕ||v||]. ∀[a:A[v[j]]].
      ((inl <i, x1>) = (inl <j, a>) ∈ (i:ℕ||v|| × A[v[i]]?)
      ⇐⇒ j < ||v|| ∧ ((f v[j]) = (inl a) ∈ (A[v[j]]?)) ∧ (∀x∈firstn(j;v).↑isr(f x)))
12. j : ℕ||v|| + 1
13. ¬0 < j
14. a : A[[u / v][j]]
⊢ (inl <i + 1, x1>) = (inl <j, a>) ∈ (i:ℕ||v|| + 1 × A[[u / v][i]]?)
⇐⇒ j < ||v|| + 1 ∧ ((f [u / v][j]) = (inl a) ∈ (A[[u / v][j]]?)) ∧ (∀x∈[].↑isr(f x))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  A  :  T  {}\mrightarrow{}  Type
3.  f  :  x:T  {}\mrightarrow{}  (A[x]?)
4.  u  :  T
5.  v  :  T  List
6.  y  :  Unit
7.  (f  u)  =  (inr  y  )
8.  i  :  \mBbbN{}||v||
9.  x1  :  A[v[i]]
10.  first-success(f;v)  =  (inl  <i,  x1>)
11.  \mforall{}[j:\mBbbN{}||v||].  \mforall{}[a:A[v[j]]].
            ((inl  <i,  x1>)  =  (inl  <j,  a>)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  j  <  ||v||  \mwedge{}  ((f  v[j])  =  (inl  a))  \mwedge{}  (\mforall{}x\mmember{}firstn(j;v).\muparrow{}isr(f  x)\000C))
12.  j  :  \mBbbN{}||v||  +  1
13.  a  :  A[[u  /  v][j]]
\mvdash{}  (inl  <i  +  1,  x1>)  =  (inl  <j,  a>)
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  j  <  ||v||  +  1  \mwedge{}  ((f  [u  /  v][j])  =  (inl  a))  \mwedge{}  (\mforall{}x\mmember{}firstn(j;[u  /  v]).\muparrow{}isr(f  x))


By

---

Latex:
TACTIC:(RecUnfold  `firstn`  0  THEN  Reduce  0  THEN  AutoSplit)

---

Home Index