---

Step * 1 1 1 1 of Lemma isl-apply-alist


1. [A] : Type
2. [T] : Type
3. eq : EqDecider(T)
4. x : T
5. L : (T × A) List
6. apply-alist(eq;L;x) ~ ff supposing ¬(x ∈ map(λp.(fst(p));L))
7. ∀[i:ℕ||L||]
     (apply-alist(eq;L;x) ~ inl (snd(L[i]))) supposing (((fst(L[i])) = x ∈ T) and (∀j:ℕi. (¬((fst(L[j])) = x ∈ T))))
8. ∀a,b:T.  Dec(a = b ∈ T)
9. y : T × A
10. i : ℕ
11. i < ||L||
12. x = (fst(L[i])) ∈ T
⊢ ∃i:ℕ||L||. (((fst(L[i])) = x ∈ T) ∧ (∀j:ℕi. (¬((fst(L[j])) = x ∈ T))))
BY
{ (RepeatFor 3 (MoveToConcl (-1)) THEN CompleteInductionOnNat THEN Auto) }

1
1. [A] : Type
2. [T] : Type
3. eq : EqDecider(T)
4. x : T
5. L : (T × A) List
6. apply-alist(eq;L;x) ~ ff supposing ¬(x ∈ map(λp.(fst(p));L))
7. ∀[i:ℕ||L||]
     (apply-alist(eq;L;x) ~ inl (snd(L[i]))) supposing (((fst(L[i])) = x ∈ T) and (∀j:ℕi. (¬((fst(L[j])) = x ∈ T))))
8. ∀a,b:T.  Dec(a = b ∈ T)
9. y : T × A
10. i : ℕ
11. ∀i:ℕi
      (i < ||L|| ⇒ (x = (fst(L[i])) ∈ T) ⇒ (∃i:ℕ||L||. (((fst(L[i])) = x ∈ T) ∧ (∀j:ℕi. (¬((fst(L[j])) = x ∈ T))))))
12. i < ||L||
13. x = (fst(L[i])) ∈ T
⊢ ∃i:ℕ||L||. (((fst(L[i])) = x ∈ T) ∧ (∀j:ℕi. (¬((fst(L[j])) = x ∈ T))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  [T]  :  Type
3.  eq  :  EqDecider(T)
4.  x  :  T
5.  L  :  (T  \mtimes{}  A)  List
6.  apply-alist(eq;L;x)  \msim{}  ff  supposing  \mneg{}(x  \mmember{}  map(\mlambda{}p.(fst(p));L))
7.  \mforall{}[i:\mBbbN{}||L||]
          (apply-alist(eq;L;x)  \msim{}  inl  (snd(L[i])))  supposing 
                (((fst(L[i]))  =  x)  and 
                (\mforall{}j:\mBbbN{}i.  (\mneg{}((fst(L[j]))  =  x))))
8.  \mforall{}a,b:T.    Dec(a  =  b)
9.  y  :  T  \mtimes{}  A
10.  i  :  \mBbbN{}
11.  i  <  ||L||
12.  x  =  (fst(L[i]))
\mvdash{}  \mexists{}i:\mBbbN{}||L||.  (((fst(L[i]))  =  x)  \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}i.  (\mneg{}((fst(L[j]))  =  x))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  3  (MoveToConcl  (-1))  THEN  CompleteInductionOnNat  THEN  Auto)

---

Home Index