---

Step * 8 2 of Lemma member-insert-combine2


1. T : Type
2. cmp : comparison(T)
3. f : T ⟶ T ⟶ T
4. x : T
5. z : T
6. u : T
7. cmp x u ≠ 0
8. v : T List
9. ((∃l:T List. (l @ [z] ≤ v ∧ (∀y∈l.cmp x y < 0) ∧ cmp x z < 0))
∨ (∃l,l':T List
    ∃a:T
     (((l @ [a / l']) = v ∈ (T List))
     ∧ (∀y∈l.cmp x y < 0)
     ∧ ((0 < cmp x a ∧ (z ∈ [x; [a / l']])) ∨ (((cmp x a) = 0 ∈ ℤ) ∧ (z ∈ [f x a / l'])))))
∨ ((z = x ∈ T) ∧ (∀y∈v.cmp x y < 0)))
⇒ (z ∈ insert-combine(cmp;f;x;v))
10. l : T List
11. l' : T List
12. a : T
13. (l @ [a / l']) = [u / v] ∈ (T List)
14. (∀y∈l.cmp x y < 0)
15. 0 < cmp x a
16. (z = x ∈ T) ∨ (z = a ∈ T) ∨ (z ∈ l')
17. 0 < cmp x u
⊢ (z = x ∈ T) ∨ (z = u ∈ T) ∨ (z ∈ v)
BY
{ (D (-2)
   THEN Auto
   THEN DVar `l'
   THEN AllReduce
   THEN AutoSimpHyp Auto (-5)
   THEN Try (Complete (((DProdsAndUnions THEN Auto)
                        THEN Try (Complete (((OrRight THEN Auto) THEN OrLeft THEN Auto)))
                        THEN Try (Complete (((OrRight THEN Auto) THEN OrRight THEN Auto))))))
   THEN Try (Complete ((RepeatFor 2 ((OrRight THENA Auto))
                        THEN SimpleSubstVar `v' 0
                        THEN SpList 0
                        THEN OrRight
                        THEN Auto)))) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  cmp  :  comparison(T)
3.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  T
4.  x  :  T
5.  z  :  T
6.  u  :  T
7.  cmp  x  u  \mneq{}  0
8.  v  :  T  List
9.  ((\mexists{}l:T  List.  (l  @  [z]  \mleq{}  v  \mwedge{}  (\mforall{}y\mmember{}l.cmp  x  y  <  0)  \mwedge{}  cmp  x  z  <  0))
\mvee{}  (\mexists{}l,l':T  List
        \mexists{}a:T
          (((l  @  [a  /  l'])  =  v)
          \mwedge{}  (\mforall{}y\mmember{}l.cmp  x  y  <  0)
          \mwedge{}  ((0  <  cmp  x  a  \mwedge{}  (z  \mmember{}  [x;  [a  /  l']]))  \mvee{}  (((cmp  x  a)  =  0)  \mwedge{}  (z  \mmember{}  [f  x  a  /  l'])))))
\mvee{}  ((z  =  x)  \mwedge{}  (\mforall{}y\mmember{}v.cmp  x  y  <  0)))
{}\mRightarrow{}  (z  \mmember{}  insert-combine(cmp;f;x;v))
10.  l  :  T  List
11.  l'  :  T  List
12.  a  :  T
13.  (l  @  [a  /  l'])  =  [u  /  v]
14.  (\mforall{}y\mmember{}l.cmp  x  y  <  0)
15.  0  <  cmp  x  a
16.  (z  =  x)  \mvee{}  (z  =  a)  \mvee{}  (z  \mmember{}  l')
17.  0  <  cmp  x  u
\mvdash{}  (z  =  x)  \mvee{}  (z  =  u)  \mvee{}  (z  \mmember{}  v)


By

---

Latex:
(D  (-2)
  THEN  Auto
  THEN  DVar  `l'
  THEN  AllReduce
  THEN  AutoSimpHyp  Auto  (-5)
  THEN  Try  (Complete  (((DProdsAndUnions  THEN  Auto)
                                            THEN  Try  (Complete  (((OrRight  THEN  Auto)  THEN  OrLeft  THEN  Auto)))
                                            THEN  Try  (Complete  (((OrRight  THEN  Auto)  THEN  OrRight  THEN  Auto))))))
  THEN  Try  (Complete  ((RepeatFor  2  ((OrRight  THENA  Auto))
                                            THEN  SimpleSubstVar  `v'  0
                                            THEN  SpList  0
                                            THEN  OrRight
                                            THEN  Auto))))

---

Home Index