Nuprl Lemma : member-insert-combine2

∀T:Type. ∀cmp:comparison(T). ∀f:T ⟶ T ⟶ T. ∀x,z:T. ∀v:T List.
  ((z ∈ insert-combine(cmp;f;x;v))
  ⇐⇒ (∃l:T List. (l @ [z] ≤ v ∧ (∀y∈l.cmp x y < 0) ∧ cmp x z < 0))
      ∨ (∃l,l':T List
          ∃a:T
           (((l @ [a / l']) = v ∈ (T List))
           ∧ (∀y∈l.cmp x y < 0)
           ∧ ((0 < cmp x a ∧ (z ∈ [x; [a / l']])) ∨ (((cmp x a) = 0 ∈ ℤ) ∧ (z ∈ [f x a / l'])))))
      ∨ ((z = x ∈ T) ∧ (∀y∈v.cmp x y < 0)))


Proof



Definitions occuring in Statement :  insert-combine: insert-combine(cmp;f;x;l),  comparison: comparison(T),  iseg: l1 ≤ l2,  l_all: (∀x∈L.P[x]),  l_member: (x ∈ l),  append: as @ bs,  cons: [a / b],  nil: [],  list: T List,  less_than: a < b,  all: ∀x:A. B[x],  exists: ∃x:A. B[x],  iff: P ⇐⇒ Q,  or: P ∨ Q,  and: P ∧ Q,  apply: f a,  function: x:A ⟶ B[x],  natural_number: $n,  int: ℤ,  universe: Type,  equal: s = t ∈ T
Definitions unfolded in proof :  all: ∀x:A. B[x],  iff: P ⇐⇒ Q,  and: P ∧ Q,  implies: P ⇒ Q,  uall: ∀[x:A]. B[x],  member: t ∈ T,  so_lambda: λ2x.t[x],  prop: ℙ,  or: P ∨ Q,  exists: ∃x:A. B[x],  so_apply: x[s],  top: Top,  comparison: comparison(T),  rev_implies: P ⇐ Q,  uiff: uiff(P;Q),  uimplies: b supposing a,  subtype_rel: A ⊆r B,  guard: {T},  cand: A c∧ B,  true: True,  insert-combine: insert-combine(cmp;f;x;l),  has-value: (a)↓,  append: as @ bs,  so_lambda: so_lambda(x,y,z.t[x; y; z]),  so_apply: x[s1;s2;s3],  not: ¬A,  false: False,  decidable: Dec(P),  satisfiable_int_formula: satisfiable_int_formula(fmla),  squash: ↓T,  sq_type: SQType(T),  ifthenelse: if b then t else f fi ,  btrue: tt,  bfalse: ff,  assert: ↑b,  bool: 𝔹,  unit: Unit,  it: ⋅,  cons: [a / b],  bnot: ¬bb,  nequal: a ≠ b ∈ T ,  less_than: a < b,  nat: ℕ,  le: A ≤ B,  subtract: n - m,  less_than': less_than'(a;b),  listp: A List+
Lemmas referenced :  list_induction,  l_member_wf,  insert-combine_wf,  or_wf,  list_wf,  insert-combine-nil,  member_singleton,  equal_wf,  nil_wf,  insert-combine-cons,  cons_wf,  exists_wf,  iseg_wf,  append_wf,  l_all_wf,  less_than_wf,  length_wf,  length-append,  equal-wf-T-base,  cons_member,  l_all_nil_iff,  length_of_nil_lemma,  l_all_wf_nil,  l_all_cons,  length_of_cons_lemma,  comparison_wf,  true_wf,  value-type-has-value,  int-value-type,  eq_int_wf,  list_ind_nil_lemma,  l_all_nil,  assert_wf,  bnot_wf,  not_wf,  lt_int_wf,  decidable__lt,  satisfiable-full-omega-tt,  intformand_wf,  intformnot_wf,  intformless_wf,  itermVar_wf,  itermConstant_wf,  intformeq_wf,  int_formula_prop_and_lemma,  int_formula_prop_not_lemma,  int_formula_prop_less_lemma,  int_term_value_var_lemma,  int_term_value_constant_lemma,  int_formula_prop_eq_lemma,  int_formula_prop_wf,  cons_iseg,  nil_iseg,  and_wf,  list_ind_cons_lemma,  squash_wf,  iff_weakening_equal,  bool_cases,  subtype_base_sq,  bool_wf,  bool_subtype_base,  eqtt_to_assert,  assert_of_eq_int,  eqff_to_assert,  iff_transitivity,  iff_weakening_uiff,  assert_of_bnot,  assert_of_lt_int,  iseg_nil,  null_append,  subtype_rel_list,  top_wf,  null_cons_lemma,  band_wf,  null_wf,  bfalse_wf,  false_wf,  assert_of_band,  assert_of_null,  list-cases,  product_subtype_list,  member_append,  l_all_iff,  bool_cases_sqequal,  assert-bnot,  neg_assert_of_eq_int,  hd_wf,  listp_properties,  cons_neq_nil,  length_wf_nat,  nat_wf,  not-lt-2,  condition-implies-le,  minus-add,  minus-one-mul,  zero-add,  minus-one-mul-top,  add-commutes,  add_functionality_wrt_le,  add-associates,  add-zero,  le-add-cancel,  reduce_hd_cons_lemma,  tl_wf,  reduce_tl_cons_lemma,  not-equal-2
Rules used in proof :  sqequalSubstitution,  sqequalTransitivity,  computationStep,  sqequalReflexivity,  lambdaFormation,  independent_pairFormation,  cut,  thin,  introduction,  extract_by_obid,  sqequalHypSubstitution,  isectElimination,  because_Cache,  sqequalRule,  lambdaEquality,  functionEquality,  dependent_functionElimination,  hypothesisEquality,  functionExtensionality,  applyEquality,  hypothesis,  cumulativity,  independent_functionElimination,  addLevel,  isect_memberEquality,  voidElimination,  voidEquality,  productElimination,  levelHypothesis,  promote_hyp,  rename,  productEquality,  setElimination,  natural_numberEquality,  setEquality,  applyLambdaEquality,  intEquality,  baseClosed,  unionElimination,  orFunctionality,  independent_isectElimination,  equalityTransitivity,  equalitySymmetry,  universeEquality,  inrFormation,  callbyvalueReduce,  inlFormation,  dependent_pairFormation,  int_eqEquality,  computeAll,  hyp_replacement,  dependent_set_memberEquality,  imageElimination,  equalityUniverse,  imageMemberEquality,  instantiate,  impliesFunctionality,  equalityElimination,  hypothesis_subsumption,  addEquality,  minusEquality
Latex:
\mforall{}T:Type.  \mforall{}cmp:comparison(T).  \mforall{}f:T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  T.  \mforall{}x,z:T.  \mforall{}v:T  List.
    ((z  \mmember{}  insert-combine(cmp;f;x;v))
    \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (\mexists{}l:T  List.  (l  @  [z]  \mleq{}  v  \mwedge{}  (\mforall{}y\mmember{}l.cmp  x  y  <  0)  \mwedge{}  cmp  x  z  <  0))
            \mvee{}  (\mexists{}l,l':T  List
                    \mexists{}a:T
                      (((l  @  [a  /  l'])  =  v)
                      \mwedge{}  (\mforall{}y\mmember{}l.cmp  x  y  <  0)
                      \mwedge{}  ((0  <  cmp  x  a  \mwedge{}  (z  \mmember{}  [x;  [a  /  l']]))  \mvee{}  (((cmp  x  a)  =  0)  \mwedge{}  (z  \mmember{}  [f  x  a  /  l'])))))
            \mvee{}  ((z  =  x)  \mwedge{}  (\mforall{}y\mmember{}v.cmp  x  y  <  0)))


Date html generated: 2017_04_17-AM-08_29_30
Last ObjectModification: 2017_02_27-PM-04_56_17

Theory : list_1


Home Index