---

Step * 1 of Lemma pigeon-hole-implies2


1. n : ℕ@i
2. [m] : ℕ
3. m < 2 * n
4. f : ℕn ⟶ ℕm@i
5. Inj(ℕn;ℕm;f)
6. g : ℕn ⟶ ℕm@i
7. Inj(ℕn;ℕm;g)
8. i : ℕ2 * n
9. j : ℕi
10. if (i) < (n)  then f i  else (g (i - n)) = if (j) < (n)  then f j  else (g (j - n)) ∈ ℤ
⊢ ∃i:ℕn. (∃j:ℕn [((f i) = (g j) ∈ ℤ)])
BY
{ (MoveToConcl (-1) THEN RepeatFor 2 (AutoSplit) THEN Auto) }

1
1. n : ℕ@i
2. [m] : ℕ
3. m < 2 * n
4. f : ℕn ⟶ ℕm@i
5. Inj(ℕn;ℕm;f)
6. g : ℕn ⟶ ℕm@i
7. Inj(ℕn;ℕm;g)
8. i : ℕ2 * n
9. j : ℕi
10. i < n
11. j < n
12. (f i) = (f j) ∈ ℤ
⊢ ∃i:ℕn. (∃j:ℕn [((f i) = (g j) ∈ ℤ)])

2
1. n : ℕ@i
2. [m] : ℕ
3. m < 2 * n
4. f : ℕn ⟶ ℕm@i
5. Inj(ℕn;ℕm;f)
6. g : ℕn ⟶ ℕm@i
7. Inj(ℕn;ℕm;g)
8. i : ℕ2 * n
9. ¬i < n
10. j : ℕi
11. j < n
12. (g (i - n)) = (f j) ∈ ℤ
⊢ ∃i:ℕn. (∃j:ℕn [((f i) = (g j) ∈ ℤ)])

3
1. n : ℕ@i
2. [m] : ℕ
3. m < 2 * n
4. f : ℕn ⟶ ℕm@i
5. Inj(ℕn;ℕm;f)
6. g : ℕn ⟶ ℕm@i
7. Inj(ℕn;ℕm;g)
8. i : ℕ2 * n
9. ¬i < n
10. j : ℕi
11. ¬j < n
12. (g (i - n)) = (g (j - n)) ∈ ℤ
⊢ ∃i:ℕn. (∃j:ℕn [((f i) = (g j) ∈ ℤ)])

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}@i
2.  [m]  :  \mBbbN{}
3.  m  <  2  *  n
4.  f  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}m@i
5.  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}m;f)
6.  g  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}m@i
7.  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}m;g)
8.  i  :  \mBbbN{}2  *  n
9.  j  :  \mBbbN{}i
10.  if  (i)  <  (n)    then  f  i    else  (g  (i  -  n))  =  if  (j)  <  (n)    then  f  j    else  (g  (j  -  n))
\mvdash{}  \mexists{}i:\mBbbN{}n.  (\mexists{}j:\mBbbN{}n  [((f  i)  =  (g  j))])


By

---

Latex:
(MoveToConcl  (-1)  THEN  RepeatFor  2  (AutoSplit)  THEN  Auto)

---

Home Index