---

Step * 2 of Lemma sorted-by-exists


1. [T] : Type
2. eq : T ⟶ T ⟶ 𝔹
3. r : T ⟶ T ⟶ 𝔹
4. ∀a,b:T.  (↑(eq a b) ⇐⇒ a = b ∈ T)
5. Linorder(T;a,b.↑(r a b))
6. u : T
7. v : T List
8. ∃L':T List. (sorted-by(λx,y. (↑(r x y));L') ∧ no_repeats(T;L') ∧ v ⊆ L' ∧ L' ⊆ v)
⊢ ∃L':T List. (sorted-by(λx,y. (↑(r x y));L') ∧ no_repeats(T;L') ∧ [u / v] ⊆ L' ∧ L' ⊆ [u / v])
BY
{ (ExRepD THEN InstConcl [⌜insert-by(eq;r;u;L')⌝]⋅ THEN Auto) }

1
1. [T] : Type
2. eq : T ⟶ T ⟶ 𝔹
3. r : T ⟶ T ⟶ 𝔹
4. ∀a,b:T.  (↑(eq a b) ⇐⇒ a = b ∈ T)
5. Linorder(T;a,b.↑(r a b))
6. u : T
7. v : T List
8. L' : T List
9. sorted-by(λx,y. (↑(r x y));L')
10. no_repeats(T;L')
11. v ⊆ L'
12. L' ⊆ v
⊢ sorted-by(λx,y. (↑(r x y));insert-by(eq;r;u;L'))

2
1. [T] : Type
2. eq : T ⟶ T ⟶ 𝔹
3. r : T ⟶ T ⟶ 𝔹
4. ∀a,b:T.  (↑(eq a b) ⇐⇒ a = b ∈ T)
5. Linorder(T;a,b.↑(r a b))
6. u : T
7. v : T List
8. L' : T List
9. sorted-by(λx,y. (↑(r x y));L')
10. no_repeats(T;L')
11. v ⊆ L'
12. L' ⊆ v
13. sorted-by(λx,y. (↑(r x y));insert-by(eq;r;u;L'))
⊢ no_repeats(T;insert-by(eq;r;u;L'))

3
1. [T] : Type
2. eq : T ⟶ T ⟶ 𝔹
3. r : T ⟶ T ⟶ 𝔹
4. ∀a,b:T.  (↑(eq a b) ⇐⇒ a = b ∈ T)
5. Linorder(T;a,b.↑(r a b))
6. u : T
7. v : T List
8. L' : T List
9. sorted-by(λx,y. (↑(r x y));L')
10. no_repeats(T;L')
11. v ⊆ L'
12. L' ⊆ v
13. sorted-by(λx,y. (↑(r x y));insert-by(eq;r;u;L'))
14. no_repeats(T;insert-by(eq;r;u;L'))
⊢ [u / v] ⊆ insert-by(eq;r;u;L')

4
1. [T] : Type
2. eq : T ⟶ T ⟶ 𝔹
3. r : T ⟶ T ⟶ 𝔹
4. ∀a,b:T.  (↑(eq a b) ⇐⇒ a = b ∈ T)
5. Linorder(T;a,b.↑(r a b))
6. u : T
7. v : T List
8. L' : T List
9. sorted-by(λx,y. (↑(r x y));L')
10. no_repeats(T;L')
11. v ⊆ L'
12. L' ⊆ v
13. sorted-by(λx,y. (↑(r x y));insert-by(eq;r;u;L'))
14. no_repeats(T;insert-by(eq;r;u;L'))
15. [u / v] ⊆ insert-by(eq;r;u;L')
⊢ insert-by(eq;r;u;L') ⊆ [u / v]

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  eq  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
3.  r  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  \mforall{}a,b:T.    (\muparrow{}(eq  a  b)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  a  =  b)
5.  Linorder(T;a,b.\muparrow{}(r  a  b))
6.  u  :  T
7.  v  :  T  List
8.  \mexists{}L':T  List.  (sorted-by(\mlambda{}x,y.  (\muparrow{}(r  x  y));L')  \mwedge{}  no\_repeats(T;L')  \mwedge{}  v  \msubseteq{}  L'  \mwedge{}  L'  \msubseteq{}  v)
\mvdash{}  \mexists{}L':T  List.  (sorted-by(\mlambda{}x,y.  (\muparrow{}(r  x  y));L')  \mwedge{}  no\_repeats(T;L')  \mwedge{}  [u  /  v]  \msubseteq{}  L'  \mwedge{}  L'  \msubseteq{}  [u  /  v])


By

---

Latex:
(ExRepD  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}insert-by(eq;r;u;L')\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index