---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma efficient-exp


1. i : ℤ
2. n : ℕ
3. ∀n1:ℕn. (∃j:ℤ [(j = i^n1 ∈ ℤ)])
4. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. 0 ≤ (n ÷ 2)
7. n ÷ 2 < n
8. m : ℤ
9. m = (n ÷ 2) ∈ ℤ
10. j : ℤ
11. j = i^m ∈ ℤ
12. e : ℤ
13. e = j ∈ ℤ
14. 0 ≤ ((n ÷ 2) * 2)
15. i^((n rem 2) + ((n ÷ 2) * 2)) = (i^(n rem 2) * i^((n ÷ 2) * 2)) ∈ ℤ
⊢ i^n = (i^(n rem 2) * i^(n ÷ 2) * i^(n ÷ 2)) ∈ ℤ
BY
{ (NthHypEq (-1) THEN EqCD THEN Auto) }

1
.....subterm..... T:t
2:n
1. i : ℤ
2. n : ℕ
3. ∀n1:ℕn. (∃j:ℤ [(j = i^n1 ∈ ℤ)])
4. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. 0 ≤ (n ÷ 2)
7. n ÷ 2 < n
8. m : ℤ
9. m = (n ÷ 2) ∈ ℤ
10. j : ℤ
11. j = i^m ∈ ℤ
12. e : ℤ
13. e = j ∈ ℤ
14. 0 ≤ ((n ÷ 2) * 2)
15. i^((n rem 2) + ((n ÷ 2) * 2)) = (i^(n rem 2) * i^((n ÷ 2) * 2)) ∈ ℤ
⊢ i^n = i^((n rem 2) + ((n ÷ 2) * 2)) ∈ ℤ

2
.....subterm..... T:t
3:n
1. i : ℤ
2. n : ℕ
3. ∀n1:ℕn. (∃j:ℤ [(j = i^n1 ∈ ℤ)])
4. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. 0 ≤ (n ÷ 2)
7. n ÷ 2 < n
8. m : ℤ
9. m = (n ÷ 2) ∈ ℤ
10. j : ℤ
11. j = i^m ∈ ℤ
12. e : ℤ
13. e = j ∈ ℤ
14. 0 ≤ ((n ÷ 2) * 2)
15. i^((n rem 2) + ((n ÷ 2) * 2)) = (i^(n rem 2) * i^((n ÷ 2) * 2)) ∈ ℤ
⊢ (i^(n rem 2) * i^(n ÷ 2) * i^(n ÷ 2)) = (i^(n rem 2) * i^((n ÷ 2) * 2)) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  i  :  \mBbbZ{}
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  \mforall{}n1:\mBbbN{}n.  (\mexists{}j:\mBbbZ{}  [(j  =  i\^{}n1)])
4.  \mneg{}(n  =  1)
5.  \mneg{}(n  =  0)
6.  0  \mleq{}  (n  \mdiv{}  2)
7.  n  \mdiv{}  2  <  n
8.  m  :  \mBbbZ{}
9.  m  =  (n  \mdiv{}  2)
10.  j  :  \mBbbZ{}
11.  j  =  i\^{}m
12.  e  :  \mBbbZ{}
13.  e  =  j
14.  0  \mleq{}  ((n  \mdiv{}  2)  *  2)
15.  i\^{}((n  rem  2)  +  ((n  \mdiv{}  2)  *  2))  =  (i\^{}(n  rem  2)  *  i\^{}((n  \mdiv{}  2)  *  2))
\mvdash{}  i\^{}n  =  (i\^{}(n  rem  2)  *  i\^{}(n  \mdiv{}  2)  *  i\^{}(n  \mdiv{}  2))


By

---

Latex:
(NthHypEq  (-1)  THEN  EqCD  THEN  Auto)

---

Home Index