---

Step * 2 1 1 2 of Lemma permutation-sign-compose


1. n : ℕ
2. ∀x,y:{s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} .  (x * y ∈ {s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} )
3. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
4. i : ℕn
5. j : ℕn
6. i < j
7. ∀g:{p:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;p)} 
     (permutation-sign(n;f o g) = (permutation-sign(n;f) * permutation-sign(n;g)) ∈ {s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} )
8. g : ℕn ⟶ ℕn
9. Inj(ℕn;ℕn;g)
10. a1 : ℕn
11. (g a1) = i ∈ ℕn
12. a : ℕn
13. (g a) = j ∈ ℕn
14. x : ℕn
⊢ (f if (x =z a1) then j if (g x =z j) then i else g x fi )
= (f (g if (x =z a1) then a if (x =z a) then a1 else x fi ))
∈ ℕn
BY
{ (Subst' (g x =z j) ~ (x =z a) 0 THENA (Auto THEN (BoolCase ⌜(x =z a)⌝⋅ THENA Auto))) }

1
1. n : ℕ
2. ∀x,y:{s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} .  (x * y ∈ {s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} )
3. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
4. i : ℕn
5. j : ℕn
6. i < j
7. ∀g:{p:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;p)} 
     (permutation-sign(n;f o g) = (permutation-sign(n;f) * permutation-sign(n;g)) ∈ {s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} )
8. g : ℕn ⟶ ℕn
9. Inj(ℕn;ℕn;g)
10. a1 : ℕn
11. (g a1) = i ∈ ℕn
12. a : ℕn
13. (g a) = j ∈ ℕn
14. x : ℕn
15. x = a ∈ ℤ
⊢ (g x =z j) = tt

2
1. n : ℕ
2. ∀x,y:{s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} .  (x * y ∈ {s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} )
3. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
4. i : ℕn
5. j : ℕn
6. i < j
7. ∀g:{p:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;p)} 
     (permutation-sign(n;f o g) = (permutation-sign(n;f) * permutation-sign(n;g)) ∈ {s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} )
8. g : ℕn ⟶ ℕn
9. Inj(ℕn;ℕn;g)
10. a1 : ℕn
11. (g a1) = i ∈ ℕn
12. a : ℕn
13. (g a) = j ∈ ℕn
14. x : ℕn
15. x ≠ a
⊢ (g x =z j) = ff

3
1. n : ℕ
2. ∀x,y:{s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} .  (x * y ∈ {s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} )
3. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
4. i : ℕn
5. j : ℕn
6. i < j
7. ∀g:{p:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;p)} 
     (permutation-sign(n;f o g) = (permutation-sign(n;f) * permutation-sign(n;g)) ∈ {s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} )
8. g : ℕn ⟶ ℕn
9. Inj(ℕn;ℕn;g)
10. a1 : ℕn
11. (g a1) = i ∈ ℕn
12. a : ℕn
13. (g a) = j ∈ ℕn
14. x : ℕn
⊢ (f if (x =z a1) then j if (x =z a) then i else g x fi )
= (f (g if (x =z a1) then a if (x =z a) then a1 else x fi ))
∈ ℕn

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}x,y:\{s:\mBbbZ{}|  |s|  =  1\}  .    (x  *  y  \mmember{}  \{s:\mBbbZ{}|  |s|  =  1\}  )
3.  f  :  \{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\} 
4.  i  :  \mBbbN{}n
5.  j  :  \mBbbN{}n
6.  i  <  j
7.  \mforall{}g:\{p:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;p)\} 
          (permutation-sign(n;f  o  g)  =  (permutation-sign(n;f)  *  permutation-sign(n;g)))
8.  g  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n
9.  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;g)
10.  a1  :  \mBbbN{}n
11.  (g  a1)  =  i
12.  a  :  \mBbbN{}n
13.  (g  a)  =  j
14.  x  :  \mBbbN{}n
\mvdash{}  (f  if  (x  =\msubz{}  a1)  then  j  if  (g  x  =\msubz{}  j)  then  i  else  g  x  fi  )
=  (f  (g  if  (x  =\msubz{}  a1)  then  a  if  (x  =\msubz{}  a)  then  a1  else  x  fi  ))


By

---

Latex:
(Subst'  (g  x  =\msubz{}  j)  \msim{}  (x  =\msubz{}  a)  0  THENA  (Auto  THEN  (BoolCase  \mkleeneopen{}(x  =\msubz{}  a)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)))

---

Home Index