---

Step * 2 1 2 2 1 of Lemma permutation-sign-compose


1. n : ℕ
2. ∀x,y:{s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} .  (x * y ∈ {s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} )
3. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
4. i : ℕn
5. j : ℕn
6. i < j
7. ∀g:{p:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;p)} 
     (permutation-sign(n;f o g) = (permutation-sign(n;f) * permutation-sign(n;g)) ∈ {s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} )
8. g : ℕn ⟶ ℕn
9. Inj(ℕn;ℕn;g)
10. a1 : ℕn
11. (g a1) = i ∈ ℕn
12. a : ℕn
13. (g a) = j ∈ ℕn
14. ∀h:{p:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;p)} . ∀i,j:ℕn.
      permutation-sign(n;h o (i, j)) = (-permutation-sign(n;h)) ∈ ℤ supposing ¬(i = j ∈ ℤ)
15. permutation-sign(n;(f o g) o (a1, a)) = (-permutation-sign(n;f o g)) ∈ ℤ
16. permutation-sign(n;f o (i, j)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ
⊢ (-permutation-sign(n;f o g)) = ((-permutation-sign(n;f)) * permutation-sign(n;g)) ∈ {s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} 
BY
{ ((D 7 With ⌜g⌝  THENA Auto) THEN HypSubst'  (-1) 0) }

1
1. n : ℕ
2. ∀x,y:{s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} .  (x * y ∈ {s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} )
3. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
4. i : ℕn
5. j : ℕn
6. i < j
7. g : ℕn ⟶ ℕn
8. Inj(ℕn;ℕn;g)
9. a1 : ℕn
10. (g a1) = i ∈ ℕn
11. a : ℕn
12. (g a) = j ∈ ℕn
13. ∀h:{p:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;p)} . ∀i,j:ℕn.
      permutation-sign(n;h o (i, j)) = (-permutation-sign(n;h)) ∈ ℤ supposing ¬(i = j ∈ ℤ)
14. permutation-sign(n;(f o g) o (a1, a)) = (-permutation-sign(n;f o g)) ∈ ℤ
15. permutation-sign(n;f o (i, j)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ
16. permutation-sign(n;f o g) = (permutation-sign(n;f) * permutation-sign(n;g)) ∈ {s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} 
⊢ (-(permutation-sign(n;f) * permutation-sign(n;g)))
= ((-permutation-sign(n;f)) * permutation-sign(n;g))
∈ {s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}x,y:\{s:\mBbbZ{}|  |s|  =  1\}  .    (x  *  y  \mmember{}  \{s:\mBbbZ{}|  |s|  =  1\}  )
3.  f  :  \{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\} 
4.  i  :  \mBbbN{}n
5.  j  :  \mBbbN{}n
6.  i  <  j
7.  \mforall{}g:\{p:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;p)\} 
          (permutation-sign(n;f  o  g)  =  (permutation-sign(n;f)  *  permutation-sign(n;g)))
8.  g  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n
9.  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;g)
10.  a1  :  \mBbbN{}n
11.  (g  a1)  =  i
12.  a  :  \mBbbN{}n
13.  (g  a)  =  j
14.  \mforall{}h:\{p:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;p)\}  .  \mforall{}i,j:\mBbbN{}n.
            permutation-sign(n;h  o  (i,  j))  =  (-permutation-sign(n;h))  supposing  \mneg{}(i  =  j)
15.  permutation-sign(n;(f  o  g)  o  (a1,  a))  =  (-permutation-sign(n;f  o  g))
16.  permutation-sign(n;f  o  (i,  j))  =  (-permutation-sign(n;f))
\mvdash{}  (-permutation-sign(n;f  o  g))  =  ((-permutation-sign(n;f))  *  permutation-sign(n;g))


By

---

Latex:
((D  7  With  \mkleeneopen{}g\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  HypSubst'    (-1)  0)

---

Home Index