---

Step * 1 2 of Lemma permutation-sign-flip

.....upcase..... 
1. n : ℕ
2. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u:ℕn - 1].  (permutation-sign(n;f o (u, u + 1)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ)
3. d : ℤ
4. 0 < d
5. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u,v:ℕn].
     permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing (¬(u = v ∈ ℤ)) ∧ (|u - v| ≤ ((d - 1) + 1))
⊢ ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u,v:ℕn].
    permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing (¬(u = v ∈ ℤ)) ∧ (|u - v| ≤ (d + 1))
BY
{ Assert ⌜∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u,v:ℕn].
            permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing u < v ∧ (|u - v| ≤ (d + 1))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u:ℕn - 1].  (permutation-sign(n;f o (u, u + 1)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ)
3. d : ℤ
4. 0 < d
5. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u,v:ℕn].
     permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing (¬(u = v ∈ ℤ)) ∧ (|u - v| ≤ ((d - 1) + 1))
⊢ ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u,v:ℕn].
    permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing u < v ∧ (|u - v| ≤ (d + 1))

2
1. n : ℕ
2. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u:ℕn - 1].  (permutation-sign(n;f o (u, u + 1)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ)
3. d : ℤ
4. 0 < d
5. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u,v:ℕn].
     permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing (¬(u = v ∈ ℤ)) ∧ (|u - v| ≤ ((d - 1) + 1))
6. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u,v:ℕn].
     permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing u < v ∧ (|u - v| ≤ (d + 1))
⊢ ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u,v:ℕn].
    permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing (¬(u = v ∈ ℤ)) ∧ (|u - v| ≤ (d + 1))

---

Latex:

---

Latex:
.....upcase..... 
1.  n  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}[f:\{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\}  ].  \mforall{}[u:\mBbbN{}n  -  1].
          (permutation-sign(n;f  o  (u,  u  +  1))  =  (-permutation-sign(n;f)))
3.  d  :  \mBbbZ{}
4.  0  <  d
5.  \mforall{}[f:\{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\}  ].  \mforall{}[u,v:\mBbbN{}n].
          permutation-sign(n;f  o  (u,  v))  =  (-permutation-sign(n;f)) 
          supposing  (\mneg{}(u  =  v))  \mwedge{}  (|u  -  v|  \mleq{}  ((d  -  1)  +  1))
\mvdash{}  \mforall{}[f:\{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\}  ].  \mforall{}[u,v:\mBbbN{}n].
        permutation-sign(n;f  o  (u,  v))  =  (-permutation-sign(n;f)) 
        supposing  (\mneg{}(u  =  v))  \mwedge{}  (|u  -  v|  \mleq{}  (d  +  1))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}[f:\{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\}  ].  \mforall{}[u,v:\mBbbN{}n].
                    permutation-sign(n;f  o  (u,  v))  =  (-permutation-sign(n;f)) 
                    supposing  u  <  v  \mwedge{}  (|u  -  v|  \mleq{}  (d  +  1))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index