---

Step * 2 1 of Lemma search_succ


1. k : ℕ
2. P : ℕk + 1 ⟶ 𝔹
3. (∃i:ℕk + 1. (↑(P i))) ⇒ 0 < search(k + 1;P)
4. (∃i:ℕk + 1. (↑(P i))) ⇐ 0 < search(k + 1;P)
5. (↑(P (search(k + 1;P) - 1))) ∧ (∀j:ℕk + 1. ¬↑(P j) supposing j < search(k + 1;P) - 1) supposing 0 < search(k + 1;P)
6. ¬↑(P 0)
7. (∃i:ℕk. (↑((λi.(P (i + 1))) i))) ⇒ 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
8. (∃i:ℕk. (↑((λi.(P (i + 1))) i))) ⇐ 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
9. (↑((λi.(P (i + 1))) (search(k;λi.(P (i + 1))) - 1)))
   ∧ (∀j:ℕk. ¬↑((λi.(P (i + 1))) j) supposing j < search(k;λi.(P (i + 1))) - 1) 
   supposing 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
⊢ search(k + 1;P) = if 0 <z search(k;λi.(P (i + 1))) then search(k;λi.(P (i + 1))) + 1 else 0 fi  ∈ ℤ
BY
{ (SplitOnConclITE THENA Auto) }

1
.....truecase..... 
1. k : ℕ
2. P : ℕk + 1 ⟶ 𝔹
3. (∃i:ℕk + 1. (↑(P i))) ⇒ 0 < search(k + 1;P)
4. (∃i:ℕk + 1. (↑(P i))) ⇐ 0 < search(k + 1;P)
5. (↑(P (search(k + 1;P) - 1))) ∧ (∀j:ℕk + 1. ¬↑(P j) supposing j < search(k + 1;P) - 1) supposing 0 < search(k + 1;P)
6. ¬↑(P 0)
7. (∃i:ℕk. (↑((λi.(P (i + 1))) i))) ⇒ 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
8. (∃i:ℕk. (↑((λi.(P (i + 1))) i))) ⇐ 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
9. (↑((λi.(P (i + 1))) (search(k;λi.(P (i + 1))) - 1)))
   ∧ (∀j:ℕk. ¬↑((λi.(P (i + 1))) j) supposing j < search(k;λi.(P (i + 1))) - 1) 
   supposing 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
10. 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
⊢ search(k + 1;P) = (search(k;λi.(P (i + 1))) + 1) ∈ ℤ

2
.....falsecase..... 
1. k : ℕ
2. P : ℕk + 1 ⟶ 𝔹
3. (∃i:ℕk + 1. (↑(P i))) ⇒ 0 < search(k + 1;P)
4. (∃i:ℕk + 1. (↑(P i))) ⇐ 0 < search(k + 1;P)
5. (↑(P (search(k + 1;P) - 1))) ∧ (∀j:ℕk + 1. ¬↑(P j) supposing j < search(k + 1;P) - 1) supposing 0 < search(k + 1;P)
6. ¬↑(P 0)
7. (∃i:ℕk. (↑((λi.(P (i + 1))) i))) ⇒ 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
8. (∃i:ℕk. (↑((λi.(P (i + 1))) i))) ⇐ 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
9. (↑((λi.(P (i + 1))) (search(k;λi.(P (i + 1))) - 1)))
   ∧ (∀j:ℕk. ¬↑((λi.(P (i + 1))) j) supposing j < search(k;λi.(P (i + 1))) - 1) 
   supposing 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
10. search(k;λi.(P (i + 1))) ≤ 0
⊢ search(k + 1;P) = 0 ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  P  :  \mBbbN{}k  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
3.  (\mexists{}i:\mBbbN{}k  +  1.  (\muparrow{}(P  i)))  {}\mRightarrow{}  0  <  search(k  +  1;P)
4.  (\mexists{}i:\mBbbN{}k  +  1.  (\muparrow{}(P  i)))  \mLeftarrow{}{}  0  <  search(k  +  1;P)
5.  (\muparrow{}(P  (search(k  +  1;P)  -  1)))  \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}k  +  1.  \mneg{}\muparrow{}(P  j)  supposing  j  <  search(k  +  1;P)  -  1) 
      supposing  0  <  search(k  +  1;P)
6.  \mneg{}\muparrow{}(P  0)
7.  (\mexists{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}((\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))  i)))  {}\mRightarrow{}  0  <  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))
8.  (\mexists{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}((\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))  i)))  \mLeftarrow{}{}  0  <  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))
9.  (\muparrow{}((\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))  (search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))  -  1)))
      \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}k.  \mneg{}\muparrow{}((\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))  j)  supposing  j  <  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))  -  1) 
      supposing  0  <  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))
\mvdash{}  search(k  +  1;P)  =  if  0  <z  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))  then  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))  +  1  else  0  fi 


By

---

Latex:
(SplitOnConclITE  THENA  Auto)

---

Home Index