---

Step * 1 1 1 1 2 1 of Lemma nat-inf-limit


1. p : ℕ∞ ⟶ 𝔹
2. ∀n:ℕ. p n∞ = ff
3. ↑(p ∞)
4. f : ℕ ⟶ 𝔹
5. (λn.(¬b(∃i<n + 1.f i)_b)) = (λn.(¬b(∃i<n + 1.f i)_b)) ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)
6. ∀n:ℕ. ((↑((λn.(¬b(∃i<n + 1.f i)_b)) (n + 1))) ⇒ (↑((λn.(¬b(∃i<n + 1.f i)_b)) n)))
7. n : ℕ
8. ∀n:ℕn. ((∃i:ℕn + 1. f i = tt) ⇒ (∃i:ℕ. ((λn.(¬b(∃i<n + 1.f i)_b)) = i∞ ∈ ℕ∞)))
9. ∃i:ℕn + 1. f i = tt
10. ¬(∃i:ℕn. f i = tt)
⊢ (λn.(¬b(∃i<n + 1.f i)_b)) = n∞ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)
BY
{ ((RepUR ``nat2inf`` 0 THEN EqCD THEN Auto)
   THEN (BLemma `iff_imp_equal_bool` THENA Auto)
   THEN RW assert_pushdownC 0
   THEN Auto
   THEN (All (RWO "assert-b-exists") THENA Auto)) }

1
1. p : ℕ∞ ⟶ 𝔹
2. ∀n:ℕ. p n∞ = ff
3. ↑(p ∞)
4. f : ℕ ⟶ 𝔹
5. (λn.(¬b(∃i<n + 1.f i)_b)) = (λn.(¬b(∃i<n + 1.f i)_b)) ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)
6. ∀n:ℕ. ((↑((λn.(¬b(∃i<n + 1.f i)_b)) (n + 1))) ⇒ (↑((λn.(¬b(∃i<n + 1.f i)_b)) n)))
7. n : ℕ
8. ∀n:ℕn. ((∃i:ℕn + 1. f i = tt) ⇒ (∃i:ℕ. ((λn.(¬b(∃i<n + 1.f i)_b)) = i∞ ∈ ℕ∞)))
9. ∃i:ℕn + 1. f i = tt
10. ¬(∃i:ℕn. f i = tt)
11. n1 : ℕ
12. ¬(∃i:ℕn1 + 1. (↑(f i)))
⊢ n1 < n

2
1. p : ℕ∞ ⟶ 𝔹
2. ∀n:ℕ. p n∞ = ff
3. ↑(p ∞)
4. f : ℕ ⟶ 𝔹
5. (λn.(¬b(∃i<n + 1.f i)_b)) = (λn.(¬b(∃i<n + 1.f i)_b)) ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)
6. ∀n:ℕ. ((↑((λn.(¬b(∃i<n + 1.f i)_b)) (n + 1))) ⇒ (↑((λn.(¬b(∃i<n + 1.f i)_b)) n)))
7. n : ℕ
8. ∀n:ℕn. ((∃i:ℕn + 1. f i = tt) ⇒ (∃i:ℕ. ((λn.(¬b(∃i<n + 1.f i)_b)) = i∞ ∈ ℕ∞)))
9. ∃i:ℕn + 1. f i = tt
10. ¬(∃i:ℕn. f i = tt)
11. n1 : ℕ
12. n1 < n
⊢ ¬(∃i:ℕn1 + 1. (↑(f i)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  p  :  \mBbbN{}\minfty{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  p  n\minfty{}  =  ff
3.  \muparrow{}(p  \minfty{})
4.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  (\mlambda{}n.(\mneg{}\msubb{}(\mexists{}i<n  +  1.f  i)\_b))  =  (\mlambda{}n.(\mneg{}\msubb{}(\mexists{}i<n  +  1.f  i)\_b))
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}((\mlambda{}n.(\mneg{}\msubb{}(\mexists{}i<n  +  1.f  i)\_b))  (n  +  1)))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}((\mlambda{}n.(\mneg{}\msubb{}(\mexists{}i<n  +  1.f  i)\_b))  n)))
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}n.  ((\mexists{}i:\mBbbN{}n  +  1.  f  i  =  tt)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}.  ((\mlambda{}n.(\mneg{}\msubb{}(\mexists{}i<n  +  1.f  i)\_b))  =  i\minfty{})))
9.  \mexists{}i:\mBbbN{}n  +  1.  f  i  =  tt
10.  \mneg{}(\mexists{}i:\mBbbN{}n.  f  i  =  tt)
\mvdash{}  (\mlambda{}n.(\mneg{}\msubb{}(\mexists{}i<n  +  1.f  i)\_b))  =  n\minfty{}


By

---

Latex:
((RepUR  ``nat2inf``  0  THEN  EqCD  THEN  Auto)
  THEN  (BLemma  `iff\_imp\_equal\_bool`  THENA  Auto)
  THEN  RW  assert\_pushdownC  0
  THEN  Auto
  THEN  (All  (RWO  "assert-b-exists")  THENA  Auto))

---

Home Index