---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma Euler-Fermat


1. n : {2...}
2. a : ℕ+
3. CoPrime(n,a)
4. Πx ∈ map(λi.(ai mod n);residues-mod(n)). x = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
5. Πx ∈ residues-mod(n). (ax mod n) = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
6. u : {x:ℤ| CoPrime(n,x)} 
7. v : {x:ℤ| CoPrime(n,x)}  List
8. ∀M:ℤ
     ((accumulate (with value c and list item x):
        x * c
       over list:
         v
       with starting value:
        M)
     * a^||v||) ≡ accumulate (with value c and list item x):
                   (ax mod n) * c
                  over list:
                    v
                  with starting value:
                   M) mod n)
9. M : ℤ
⊢ (accumulate (with value c and list item x):
    x * c
   over list:
     v
   with starting value:
    u * M)
* a^(||v|| + 1)) ≡ accumulate (with value c and list item x):
                    (ax mod n) * c
                   over list:
                     v
                   with starting value:
                    (au mod n) * M) mod n
BY
{ (RWO "-2<" 0 THEN Auto THEN Auto THEN Try ((DVar `u' THEN DoSubsume THEN Complete (Auto)))) }

1
1. n : {2...}
2. a : ℕ+
3. CoPrime(n,a)
4. Πx ∈ map(λi.(ai mod n);residues-mod(n)). x = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
5. Πx ∈ residues-mod(n). (ax mod n) = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
6. u : {x:ℤ| CoPrime(n,x)} 
7. v : {x:ℤ| CoPrime(n,x)}  List
8. ∀M:ℤ
     ((accumulate (with value c and list item x):
        x * c
       over list:
         v
       with starting value:
        M)
     * a^||v||) ≡ accumulate (with value c and list item x):
                   (ax mod n) * c
                  over list:
                    v
                  with starting value:
                   M) mod n)
9. M : ℤ
⊢ (accumulate (with value c and list item x):
    x * c
   over list:
     v
   with starting value:
    u * M)
* a^(||v|| + 1)) ≡ (accumulate (with value c and list item x):
                     x * c
                    over list:
                      v
                    with starting value:
                     (au mod n) * M)
* a^||v||) mod n

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \{2...\}
2.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  CoPrime(n,a)
4.  \mPi{}x  \mmember{}  map(\mlambda{}i.(ai  mod  n);residues-mod(n)).  x  =  \mPi{}x  \mmember{}  residues-mod(n).  x
5.  \mPi{}x  \mmember{}  residues-mod(n).  (ax  mod  n)  =  \mPi{}x  \mmember{}  residues-mod(n).  x
6.  u  :  \{x:\mBbbZ{}|  CoPrime(n,x)\} 
7.  v  :  \{x:\mBbbZ{}|  CoPrime(n,x)\}    List
8.  \mforall{}M:\mBbbZ{}
          ((accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                x  *  c
              over  list:
                  v
              with  starting  value:
                M)
          *  a\^{}||v||)  \mequiv{}  accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                                      (ax  mod  n)  *  c
                                    over  list:
                                        v
                                    with  starting  value:
                                      M)  mod  n)
9.  M  :  \mBbbZ{}
\mvdash{}  (accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
        x  *  c
      over  list:
          v
      with  starting  value:
        u  *  M)
*  a\^{}(||v||  +  1))  \mequiv{}  accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                                        (ax  mod  n)  *  c
                                      over  list:
                                          v
                                      with  starting  value:
                                        (au  mod  n)  *  M)  mod  n


By

---

Latex:
(RWO  "-2<"  0  THEN  Auto  THEN  Auto  THEN  Try  ((DVar  `u'  THEN  DoSubsume  THEN  Complete  (Auto))))

---

Home Index